AMO 2027 Lớp 8-9 SET 5 - Tự luyện tập

Trong hình dưới đây, $PSR$, $RTQ$ và $PAQ$ là ba nửa hình tròn có đường kính lần lượt 10cm, 3cm và 7cm. Biết diện tích phần tô màu bằng $k\pi$. Tìm $k$.

Mỗi hình trong dãy được tạo hoàn toàn từ các ô vuông tô màu $1\times1$.

Ở hình thứ 28, biết tỉ số (ở dạng tối giản) giữa diện tích hình chữ nhật tô màu bên trong và diện tích hình chữ nhật ngoài cùng là $m/n$. Tìm $mn$.

Trong hình, $\angle A$, $\angle B$ và $\angle C$ đều là góc vuông. Nếu $\angle AEB=40^\circ$ và $\angle BED=\angle BDE$ thì $\angle CDE=$

Số nguyên dương $n$ nhỏ nhất để $n!$ là bội của $100,000$ là bao nhiêu?

Nếu các số được xếp thành 3 hàng A, B, C theo bảng sau thì số 1000 nằm ở hàng nào?

| | |
|---|---|
| A | $1,6,7,12,13,18,19,\ldots$ |
| B | $2,5,8,11,14,17,20,\ldots$ |
| C | $3,4,9,10,15,16,21,\ldots$ |

Trong dãy Fibonacci, $T_1=T_2=1$ và $T_n=T_{n-1}+T_{n-2}$ với mọi số nguyên dương $n\ge3$. Mỗi số hạng trong 2015 số hạng đầu được viết lên một tấm thẻ giống nhau. Cả 2015 thẻ được đặt vào hộp. Philip rút ngẫu nhiên một thẻ. Xác suất để số trên thẻ là số lẻ bằng bao nhiêu?

Daniel có một số tiền. Bạn ấy chi \(\$695\) mua iPhone, rồi chi $2/5$ số tiền còn lại mua một đôi giày. Số tiền đã chi ít hơn số tiền còn lại \(\$65\). Ban đầu Daniel có bao nhiêu tiền?

Ba người đàn ông Albert, Ben, Charles và ba người phụ nữ Denise, Evelyn, Fiona gặp nhau tại một nhà hàng.
- Mỗi người đàn ông kết hôn với đúng một trong ba người phụ nữ, và ngược lại.
- Vợ Albert và chồng Denise không quen nhau.
- Chồng Evelyn và vợ Ben không quen nhau.
- Ben quen tất cả mọi người.

Ai là chồng Fiona?

Một bể có chỗ rò làm bể cạn trong 20 phút. Một ống dẫn vào cho 5 lít nước mỗi phút. Nhờ dòng nước vào này, bể cạn sau 30 phút. Bể chứa được bao nhiêu lít?

Có bao nhiêu tập con của $\{1,2,3,4,\ldots,10\}$ chứa đúng một phần tử thuộc $\{1,2\}$?

Giả sử $p\ast q=2p+2q-pq$, với $p,q$ là các số nguyên dương. Nếu $8\ast x=4$ thì $x$ bằng bao nhiêu?

Tuổi trung bình của Terry, Celine và Ken là 48. Tuổi trung bình của Ken và Terry là 53. Celine bao nhiêu tuổi?

Xác định số nguyên không âm $M$ thỏa mãn đúng ba trong bốn mệnh đề dưới đây.

(1) $M$ là số nguyên tố.

(2) $M+3$ là số nguyên tố.

(3) $1<\sqrt M<8$.

(4) $M+5$ có số lượng ước là một số lẻ.

Trong dãy số sau,
$$\ldots,245,234,223,212,201,\ldots,$$
234 là số hạng thứ 55.

a) Tìm số hạng đầu tiên.

b) Tìm số hạng thứ 70.

Một hình vuông nội tiếp đường tròn đường kính 2. Bốn đường tròn nhỏ hơn được dựng với đường kính là từng cạnh hình vuông. Tính diện tích phần tô màu.