AMO 2027 Lớp 8-9 SET 4 - Tự luyện tập

Hình vẽ có 28 điểm lưới, mỗi điểm cách các điểm gần nhất một đơn vị. Đoạn $AB$ cắt đoạn $CD$ tại $E$. Tìm độ dài $AE$.

Hình chữ nhật dưới đây được chia thành bốn hình chữ nhật nhỏ. Diện tích của ba hình nhỏ được ghi trên hình. Tìm diện tích hình thứ tư.

Tìm số hạng tiếp theo của dãy: $2,12,1112,3112,132112,\ldots$

Giải các phương trình:

a) $3x+15=3-4x$

b) $9x=\frac{2x}{5}+1$

c) $3x-4=11$

d) $9x+2=\frac34(2x+11)$

Tìm bội chung nhỏ nhất của

a) 9, 16, 24.

b) 8, 36, 60.

Có năm người ngồi quanh một bàn tròn. Mỗi người nói: “Cả hai người ngồi cạnh tôi đều là người nói dối.” Biết người nói dối không bao giờ nói thật, còn người không nói dối luôn nói thật. Có bao nhiêu người nói dối?

**Tuổi của 12 tổng thống đầu tiên của Hoa Kỳ khi bắt đầu nhiệm kỳ**

| Tổng thống | Tuổi (năm) | Tổng thống | Tuổi (năm) |
|---|---:|---|---:|
| Washington | 57 | Jackson | 62 |
| Adams | 62 | Van Buren | 55 |
| Jefferson | 58 | Harrison | 68 |
| Madison | 58 | Tyler | 51 |
| Monroe | 59 | Polk | 50 |
| Rooney | 58 | Taylor | 65 |

Bảng trên liệt kê tuổi của 12 tổng thống đầu tiên của Hoa Kỳ khi họ bắt đầu nhiệm kỳ đầu tiên. Theo bảng, tuổi trung bình của họ khi bắt đầu nhiệm kỳ là bao nhiêu năm? (Làm tròn đến hàng phần mười.)

Số giao điểm lớn nhất có thể có giữa một đường tròn và một tam giác là bao nhiêu?

Một mặt hàng trong cửa hàng được giảm giá 40%. Sau đó mặt hàng tiếp tục được giảm 75% tính trên mức giá đã giảm. Sau hai lần giảm, giá thông thường của mặt hàng giảm bao nhiêu phần trăm?

Một bể nối với ba ống dẫn nước vào A, B, C. A có thể làm đầy bể trong 4 giờ, B trong 8 giờ và C trong 10 giờ. Ban đầu cả ba ống cùng mở. Sau $X$ giờ, A và B đóng lại, phần còn lại của bể được C làm đầy một mình. Tìm $X$ nếu tổng thời gian làm đầy bể là 2 giờ 30 phút.

Tom viết theo thứ tự tăng dần tất cả các số tự nhiên không vượt quá 2021 mà mọi chữ số đều chẵn: $2,4,6,8,20,22,24,26,28,\ldots$. Tom viết tất cả bao nhiêu số?

Chọn ngẫu nhiên một điểm trong hình vuông trên mặt phẳng tọa độ có các đỉnh $(0,0)$, $(2020,0)$, $(2020,2020)$ và $(0,2020)$. Xác suất để điểm đó cách một điểm lưới không quá $d$ đơn vị là $1/2$. (Điểm $(x,y)$ là điểm lưới nếu cả $x$ và $y$ đều nguyên.) Tìm $d$, làm tròn đến hàng phần mười.

Trong hình, tam giác $PQR$ cân với $PQ=PR$ và tam giác $PRS$ cân với $PS=SR=x$. Chu vi tam giác $PQR$ bằng 22, chu vi tam giác $PRS$ bằng 22 và chu vi tứ giác $PQRS$ bằng 24. Tìm $x$.

Trong một trường học, 500 học sinh bỏ phiếu cho mỗi vấn đề trong hai vấn đề. Trong số đó, 375 em tán thành vấn đề thứ nhất, 275 em tán thành vấn đề thứ hai và 40 em phản đối cả hai. Có bao nhiêu học sinh tán thành cả hai vấn đề?

Sau đây là cuộc trò chuyện giữa Esther và Frank khi họ gặp nhau trên xe buýt.

- Esther: Tôi có ba người con. Tuổi của chúng là các số nguyên không âm, tích các tuổi bằng 72 và tổng các tuổi bằng số hiệu của chiếc xe buýt chúng ta đang đi.
- Frank: Tất nhiên tôi biết số hiệu xe, nhưng tôi vẫn chưa biết tuổi của các con bạn.
- Esther: À, tôi quên nói rằng hai người con nhỏ tuổi nhất của tôi bằng tuổi nhau.
- Frank: À, bây giờ tôi biết tuổi chúng rồi.

Ba người con bao nhiêu tuổi?

**Lưu ý nhập đáp án (biên soạn):** Nhập ba tuổi theo thứ tự không giảm, ngăn cách bằng dấu phẩy, không chèn khoảng trắng.