AMC 12B năm 2006

$$
(-1)^1 + (-1)^2 + \cdots + (-1)^{2006}?
$$ là gì

Đối với số thực $x$ và $y,$ xác định $$
x \spadesuit y = (x + y)(x - y).
$$ $3 \spadesuit (4 \spadesuit 5)?$ là gì

Một trận bóng đá đã được diễn ra giữa hai đội, Cougars và Panthers. Hai đội đã ghi được tổng cộng $34$ điểm và Đội báo sư tử đã giành chiến thắng với cách biệt $14$ điểm. Panthers đã ghi được bao nhiêu điểm?

Mary sắp trả tiền cho năm món hàng ở cửa hàng tạp hóa. Giá của các mặt hàng là $\$7.99,$ $\$4.99,$ $\$2.99,$ $\$1.99,$ và $\$0.99.$ Mary sẽ thanh toán bằng tờ 20 đô la. Tỷ lệ nào sau đây gần nhất với tỷ lệ phần trăm của $\$20.00$ mà cô ấy sẽ nhận được khi đổi lại?

John đang đi về phía đông với tốc độ $3$ dặm một giờ, trong khi Bob cũng đang đi về phía đông, nhưng với tốc độ $5$ dặm một giờ. Nếu Bob bây giờ cách John $1$ dặm về phía tây, thì Bob sẽ mất bao nhiêu phút để đuổi kịp John?

Francesca sử dụng $100$ gam nước chanh, $100$ gam đường và $400$ gam nước để làm nước chanh. Có $25$ calo trong $100$ gam nước chanh và $386$ calo trong $100$ gam đường. Nước không chứa calo. Có bao nhiêu calo trong $200$ gam nước chanh của cô ấy?

Ông bà Lopez có hai người con. Khi họ lên xe của gia đình, hai người ngồi phía trước, hai người còn lại ngồi phía sau. Ông Lopez hoặc bà Lopez phải ngồi ở ghế lái. Có thể sắp xếp được bao nhiêu chỗ ngồi?

Các đường $$
x = \tfrac14 y + a, \qquad y = \tfrac14 x + b
$$ cắt nhau tại điểm $(1, 2).$ $a + b?$ là gì

Có bao nhiêu số nguyên có ba chữ số có tính chất là các chữ số của chúng đọc từ trái sang phải theo thứ tự tăng dần?

Trong một tam giác có độ dài các cạnh nguyên, một cạnh dài gấp ba lần cạnh thứ hai và độ dài cạnh thứ ba là $15.$ Độ dài lớn nhất có thể có chu vi của tam giác là bao nhiêu?

Joe và JoAnn mỗi người mua $12$ ounce cà phê trong cốc $16$-ounce. Joe uống $2$ ounce cà phê và sau đó thêm $2$ ounce kem. JoAnn đã thêm $2$ ounce kem, khuấy đều cà phê rồi uống $2$ ounce. Tỉ lệ giữa lượng kem trong cà phê của Joe và lượng kem trong cà phê của JoAnn là bao nhiêu?

Parabol $y = ax^2 + bx + c$ có đỉnh $(p, p)$ và $y$-giao điểm $(0, -p),$ trong đó $p \neq 0.$ $b?$ là gì

Hình thoi $ABCD$ là đồng dạng thành hình thoi $BFDE.$ diện tích của hình thoi $ABCD$ là $24,$ và $\angle BAD = 60^\circ.$ diện tích của hình thoi là gì $BFDE?$

Elmo làm bánh sandwich $N$ để gây quỹ. Đối với mỗi chiếc bánh sandwich, anh ấy sử dụng $B$ viên bơ đậu phộng với giá $4$¢ mỗi quả cầu và $J$ viên mứt với giá $5$¢ mỗi viên. Chi phí của bơ đậu phộng và mứt để làm tất cả các loại bánh mì sandwich là $\$2.53.$ Giả sử rằng $B,$ $J,$ và $N$ là các số nguyên dương với $N \gt 1.$ Chi phí của loại mứt mà Elmo sử dụng để làm bánh mì sandwich là bao nhiêu?

Các đường tròn có tâm $O$ và $P$ có bán kính lần lượt là $2$ và $4,$ và là tiếp tuyến ngoài. Các điểm $A$ và $B$ nằm trên đường tròn có tâm tại $O,$ và các điểm $C$ và $D$ nằm trên đường tròn có tâm tại $P,$ sao cho $AD$ và $BC$ là các tiếp tuyến chung ngoài của các đường tròn. diện tích của hình lục giác $AOBCPD?$ là gì

Lục giác đều $ABCDEF$ có các đỉnh $A$ và $C$ lần lượt tại $(0, 0)$ và $(7, 1),$. diện tích của nó là gì?

Đối với một cặp xúc xắc đặc biệt, xác suất tung ra $1,$ $2,$ $3,$ $4,$ $5,$ và $6$ trên mỗi con xúc xắc có tỷ lệ $1 : 2 : 3 : 4 : 5 : 6.$ xác suất của việc tung một con xúc xắc là bao nhiêu tổng số $7$ trên hai viên xúc xắc?

Một vật trong mặt phẳng di chuyển từ điểm mạng này sang điểm khác. Ở mỗi bước, vật có thể di chuyển một đơn vị sang phải, một đơn vị sang trái, một đơn vị lên hoặc một đơn vị xuống. Nếu đối tượng bắt đầu từ gốc tọa độ và đi theo đường đi mười bước thì có bao nhiêu điểm khác nhau có thể là điểm cuối cùng?

Ông Jones có tám người con ở các độ tuổi khác nhau. Trong một chuyến đi cùng gia đình, đứa con lớn nhất của anh ấy, $9,$ nhìn thấy một biển số xe có số $4$ chữ số, trong đó mỗi chữ số có hai chữ số xuất hiện hai lần. “Nhìn kìa, bố!” cô ấy kêu lên. “Con số đó bằng chia hết cho tuổi của mỗi đứa trẻ chúng ta!” “Đúng vậy,” ông Jones đáp, “và hai chữ số cuối cùng chính là tuổi của tôi.” Số nào sau đây *không phải* tuổi của một trong những đứa con của ông Jones?

Cho $x$ được chọn ngẫu nhiên từ khoảng $(0, 1).$ xác suất mà $$
\lfloor \log_{10} 4x \rfloor - \lfloor \log_{10} x \rfloor = 0?
$$ Ở đây $\lfloor x \rfloor$ biểu thị số nguyên lớn nhất nhỏ hơn hoặc bằng $x.$