IMSO 2008 — Toán quốc tế — Tự luận

Tính số đo góc $ABC$ trong hình dưới, biết $AC=CB=CD$ và góc $ADC$ bằng $29^\circ$.

Năm 2008, xe A có giá 20 000 đô la, xe B có giá 25 000 đô la. Mỗi năm, giá xe A giảm $5\%$ và giá xe B giảm $10\%$. Đến năm nào xe B sẽ rẻ hơn xe A?

Trung bình cộng của 10 số lẻ liên tiếp là 120. Trung bình cộng của 5 số lớn nhất bằng bao nhiêu?

Trong hình, $ABCD$ là hình chữ nhật, $AB=CD=24$ cm và $AD=BC=5$ cm. Tính diện tích phần tô màu, theo xentimét vuông.

Chọn ba số khác nhau trong các số từ 1 đến 10 sao cho tổng bằng 12. Có tất cả bao nhiêu cách chọn?

Năm ghế được xếp thành một hàng. Xếp năm người xác định vào các ghế đó, trong đó hai người xác định không được ngồi cạnh nhau. Có bao nhiêu cách xếp chỗ?

Tính tổng các số từ 1 đến 500 chia hết cho 5 nhưng không chia hết cho 2.

Gọi $M$, $N$ lần lượt là diện tích hình vuông lớn và hình vuông nhỏ. Chu vi hình vuông lớn bằng 25 lần chu vi hình vuông nhỏ. Tìm tỉ số $M:N$.

Ahmad thường đi từ thị trấn P đến Q trong 8 giờ. Một hôm, bạn tăng vận tốc trung bình thêm 5 km/giờ nên đến sớm 20 phút. Tìm vận tốc trung bình thường ngày, theo km/giờ.

Nadia muốn ghép một hình vuông bằng các thẻ hình chữ nhật kích thước 12,5 cm nhân 7,5 cm. Các thẻ không được chồng lên nhau và không được để khe hở. Cần ít nhất bao nhiêu thẻ?

Jenny có một số sách trên giá và muốn chuyển tất cả sang giá khác. Nếu mỗi lượt chuyển 2 quyển thì cuối cùng còn dư 1 quyển. Nếu mỗi lượt chuyển 3, 4 hoặc 5 quyển cũng đều dư 1 quyển. Nếu mỗi lượt chuyển 7 quyển thì không dư quyển nào. Biết tổng số sách ít hơn 500, tìm số sách của Jenny.

Ánh sáng từ điểm A tạo góc $20^\circ$ với mặt phẳng ngang, rồi phản xạ trên gương phẳng M như hình nhìn từ bên cạnh. Góc X phải bằng bao nhiêu để tia phản xạ S vuông góc với mặt phẳng ngang?

Xét dãy $25,76,38,19,58,29,\ldots$. Các số hạng được xác định theo quy tắc:

- Nếu số hạng chẵn, số tiếp theo bằng một nửa số đó.
- Nếu số hạng lẻ, số tiếp theo bằng 3 lần số đó cộng 1.

Số hạng thứ 1000 bằng bao nhiêu?