IMSO 2009 Toán học tại Đài Loan – Trả lời ngắn

Tìm số chia lớn nhất có thể dùng để chia ba số 480608, 508811 và 723217 sao cho cả ba phép chia có cùng số dư.

Trong một nhóm nhỏ có đủ các quan hệ sau giữa những người trong nhóm: cha, mẹ, con trai, con gái, anh hoặc em trai, chị hoặc em gái, anh chị em họ, cháu trai, cháu gái, chú hoặc bác hoặc cậu, cô hoặc dì hoặc bác gái. Nhóm ít nhất có bao nhiêu người?

Bảy khối lập phương được dán mặt với mặt như hình. Thể tích khối tạo thành là $189\text{ cm}^3$. Tìm diện tích bề mặt của khối.

Jack nói với Jim: “Nếu tôi đổi 6 con lợn lấy một con ngựa của bạn, bạn sẽ có số con vật gấp đôi tôi.” Dan nói với Jack: “Nếu tôi đổi 14 con cừu lấy một con ngựa của bạn, bạn sẽ có số con vật gấp ba tôi.” Jim nói với Dan: “Nếu tôi đổi 4 con bò lấy một con ngựa của bạn, bạn sẽ có số con vật gấp sáu tôi.” Tổng cộng Jack, Jim và Dan có bao nhiêu con vật?

Bằng cách thêm dấu ngoặc theo các cách khác nhau vào biểu thức $1\div3\div5\div7\div11\div13$, biểu thức có thể nhận tối đa bao nhiêu giá trị khác nhau?

Thay các dấu sao bằng chữ số để phép nhân dưới đây đúng. Tích bằng bao nhiêu?

Tom nhận đào móng và phải hoàn thành trong 30 ngày. Máy của anh, mà anh muốn dùng nhiều nhất có thể, cần 48 ngày để làm hết việc. Anh có thể thuê máy lớn hơn làm hết việc trong 21 ngày, giá 300 đô la mỗi ngày. Chỉ đủ chỗ cho một máy hoạt động tại một thời điểm. Anh phải thuê máy lớn ít nhất bao nhiêu ngày?

Bốn tam giác vuông khác nhau đều có các cạnh dài bằng số nguyên và có cùng chu vi. Tìm chu vi nhỏ nhất để điều này xảy ra.

Hình là một ngũ giác không đều đã vẽ cả năm đường chéo. Có thể tìm được bao nhiêu tam giác riêng biệt, không nhất thiết khác hình dạng hay kích thước, chỉ dùng các đoạn thẳng hoặc phần đoạn thẳng trong hình?

Một bức tranh hình chữ nhật có mỗi cạnh dài bằng một số nguyên xăng-ti-mét. Nhìn thoáng qua có thể nhầm nó là hình vuông, nhưng nó không phải hình vuông. Tranh được đặt bên trong viền đen rộng 3 cm ở cả bốn phía. Diện tích viền đúng bằng diện tích tranh. Diện tích riêng bức tranh bằng bao nhiêu $\text{cm}^2$?

Khóa két cần một dãy sáu chữ cái gồm A, B, C, D, E, F, không lặp chữ nào. Có ba lần đoán:

| Lần đoán | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 |
| --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- |
| THỨ NHẤT | C | B | A | D | F | E |
| THỨ HAI | A | E | D | C | B | F |
| THỨ BA | E | D | F | A | C | B |

Lần thứ nhất chỉ MỘT chữ đúng vị trí. Lần thứ hai chỉ HAI chữ đúng vị trí, và hai vị trí đúng không kề nhau. Lần thứ ba chỉ BA chữ đúng vị trí. Mỗi chữ trong sáu chữ đúng vị trí đúng một lần trong ba lần đoán. Dãy đúng là gì?

Cho $ABCD$ là hình vuông và $EA:EB:EC=1:2:3$. Tìm số đo góc $AEB$, tính bằng độ.