IKMC 2016 - Lớp 11-12 - Tự luyện tập

Tổng tuổi Tom và Johann là 23, Johann và Alex là 24, Alex và Tom là 25. Người lớn tuổi nhất bao nhiêu tuổi?

Tính $1/10+1/100+1/1000$.

Maria muốn xây cầu qua sông. Từ mọi điểm dọc một bờ, cây cầu ngắn nhất có thể sang bờ đối diện đều dài bằng nhau. Hình dòng sông nào chắc chắn không có tính chất đó?

Có bao nhiêu số nguyên lớn hơn hẳn 2015×2017 và nhỏ hơn hẳn 2016×2016?

Biểu đồ điểm trong mặt phẳng xy tạo hình kangaroo đã cho. Đổi chỗ tọa độ x và y của từng điểm. Hình nào thu được?

Cần ít nhất bao nhiêu mặt phẳng để bao kín một miền ba chiều hữu hạn?

Diana điền số nguyên không âm vào chín vòng tròn sao cho tổng ba số ở đỉnh của mỗi tam giác nhỏ trong tám tam giác đều bằng nhau. Có thể dùng nhiều nhất bao nhiêu giá trị khác nhau?

Hai hình chữ nhật S₁ và S₂ trong hình tọa độ có diện tích bằng nhau. Tìm x:y.

Nếu $x^2-4x+2=0$, tính $x+2/x$.

Đường tròn tâm O có tiếp tuyến tại P. A, O, B, X thẳng hàng như hình. Cung AP dài 20, cung BP dài 16. Tính góc AXP.

Các số nguyên dương a,b,c,d thỏa $a+2=b-2=2c=d/2$. Số nào lớn nhất?

Trong tháp số, mỗi ô bằng tích hai ô ngay dưới nó. Ba ô đáy chứa số nguyên lớn hơn 1. Số nào không thể nằm ở đỉnh?

Nếu $x_1=2$ và $x_{n+1}=x_n^{x_n}$ với $n\ge1$, tính $x_4$.

Trong hình chữ nhật ABCD, BC bằng một nửa đường chéo AC. Điểm X nằm trên cạnh CD và AX=XC. Tính góc CAX.

Diana cắt hình chữ nhật diện tích 2016 thành 56 hình vuông bằng nhau. Các cạnh hình chữ nhật và hình vuông là số nguyên. Có bao nhiêu hình chữ nhật đôi một không bằng nhau cho phép cách cắt đó?

Hình vuông trong hình có chu vi 4. Chu vi tam giác đều là bao nhiêu?

Trên đảo, hiệp sĩ luôn nói thật, người nói dối luôn nói sai. Bảy người ngồi thành vòng quanh lửa trại. Ai cũng nói: “Tôi ngồi giữa hai người nói dối!” Có bao nhiêu người nói dối?

Ba số có ba chữ số sử dụng các chữ số 1 đến 9, mỗi chữ số đúng một lần trong cả ba số. Số nào không thể là tổng?

Mỗi trong mười điểm được ghi 0, 1 hoặc 2. Tổng ba đỉnh của mỗi tam giác nhỏ trắng chia hết cho 3; tổng ba đỉnh của mỗi tam giác đen không chia hết cho 3. Ba số đã cho như hình. Điểm bên trong “?” có thể nhận giá trị nào?

Bettina chọn năm điểm A,B,C,D,E trên đường tròn và vẽ tiếp tuyến tại A. Năm góc đánh dấu x bằng nhau. Hình không vẽ theo tỉ lệ. Tính góc ABD.