AMC 12 năm 1972

Độ dài tính bằng inch của ba cạnh của bốn tam giác $\mathrm{I},$ $\mathrm{II},$ $\mathrm{III},$ và $\mathrm{IV}$ như sau: $$
\begin{aligned} \mathrm{I}\quad&3,4,5\\ \mathrm{II}\quad&4,7\frac12,8\frac12\\ \mathrm{III}\quad&7,24,25\\ \mathrm{IV}\quad&3\frac12,4\frac12,5\frac12 \end{aligned}
$$ Trong bốn tam giác đã cho này, các tam giác vuông duy nhất là:

Nếu một đại lý có thể nhận được hàng hóa của mình với giá thấp hơn $8\%$ trong khi vẫn giữ giá bán cố định thì lợi nhuận của anh ta, dựa trên chi phí, sẽ tăng lên $(x+10)\%$ từ lợi nhuận hiện tại của anh ta là $x\%,$ là:

Nếu $x=\dfrac{1-i\sqrt3}{2},$ trong đó $i=\sqrt{-1},$ thì $\dfrac{1}{x^2-x}$ bằng:

Số nghiệm của $\{1,2\}\subseteq X\subseteq\{1,2,3,4,5\},$ trong đó $X$ là tập con của $\{1,2,3,4,5\},$ là:

Trong số $2^{\frac{1}{2}},$ $3^{\frac{1}{3}},$ $8^{\frac{1}{8}},$ $9^{\frac{1}{9}},$ những giá trị có giá trị lớn nhất và cạnh giá trị lớn nhất, theo thứ tự đó là:

Nếu $3^{2x}+9=10(3^x),$ thì giá trị của $x^2+1$ là:

Nếu $yz:zx:xy=1:2:3,$ thì $\dfrac{x}{yz}:\dfrac{y}{zx}$ bằng:

Nếu $\lvert x-\log y\rvert=x+\log y,$ trong đó $x$ và $\log y$ là có thật thì:

Ann và Sue mua những hộp văn phòng phẩm giống hệt nhau. Ann dùng máy của mình để viết các chữ cái trên tờ $1$ và Sue dùng máy của cô để viết các chữ cái trên tờ $3$. Ann đã dùng hết số phong bì và còn lại $50$ tờ giấy, trong khi Sue đã dùng hết số tờ giấy và còn lại $50$ phong bì. Số tờ giấy trong mỗi hộp là:

Đối với $x$ số thực, bất đẳng thức $1\le\lvert x-2\rvert\le7$ tương đương với:

(Các) giá trị của $y$ mà cặp phương trình sau $$
\begin{aligned} x^2+y^2-16&=0,\\ x^2-3y+12&=0 \end{aligned}
$$ có thể có nghiệm chung thực sự là:

Số feet khối trong thể tích của hình lập phương bằng với số inch vuông trên bề mặt của nó diện tích. Chiều dài của cạnh được biểu thị bằng số feet là:

Bên trong hình vuông $ABCD$ có cạnh dài $12$ inch, vẽ đoạn $AE$, trong đó $E$ là điểm trên $DC$ cách $5$ inch tính từ $D.$ Đường phân giác vuông góc của $AE$ được vẽ và cắt $AE,$ $AD,$ và $BC$ tại các điểm $M,$ $P,$ và $Q,$ tương ứng. Tỷ lệ của phân đoạn $PM$ đến $MQ$ là:

Một tam giác có các góc $30^\circ$ và $45^\circ.$ Nếu cạnh đối diện với góc $45^\circ$ có độ dài $8,$ thì cạnh đối diện với góc $30^\circ$ có độ dài:

Một nhà thầu ước tính rằng một trong hai người thợ nề của anh ta sẽ mất $9$ giờ để xây một bức tường nhất định và $10$ giờ còn lại. Tuy nhiên, theo kinh nghiệm của anh ấy, anh ấy biết rằng khi họ làm việc cùng nhau, sản lượng tổng hợp của họ giảm $10$ viên gạch mỗi giờ. Đang vội, anh ta giao cả hai người vào công việc và nhận thấy rằng phải mất chính xác $5$ giờ để xây bức tường. Số viên gạch của bức tường là:

Có hai số dương có thể được chèn vào giữa $3$ và $9$ sao cho ba số đầu tiên theo cấp số nhân trong khi ba số cuối theo cấp số cộng. Tổng của hai số dương đó là:

Một đoạn dây được cắt làm đôi tại một điểm được chọn ngẫu nhiên. xác suất mà mảnh dài hơn là ít nhất $x$ lớn gấp mảnh ngắn hơn là:

Đặt $ABCD$ là một hình thang có số đo cơ sở $AB$ gấp đôi cơ sở $DC,$ và đặt $E$ là giao điểm của các đường chéo. Nếu số đo của đường chéo $AC$ là $11,$ thì số đo của đoạn $EC$ bằng:

Tổng của các số hạng $n$ đầu tiên của dãy $$
\begin{gathered} 1,\ (1+2),\ (1+2+2^2),\\ \ldots,\ (1+2+2^2+\cdots+2^{n-1}) \end{gathered}
$$ theo $n$ là:

Nếu $\tan x=\dfrac{2ab}{a^2-b^2},$ trong đó $a\gt b\gt0$ và $0^\circ\lt x\lt90^\circ,$ thì $\sin x$ bằng: