AMC 12 năm 1969

Khi thêm $x$ vào cả tử số và mẫu số của phân số $\frac{a}{b},$ $a\ne b,$ $b\ne0,$ thì giá trị của phân số được thay đổi thành $\frac{c}{d}.$ Khi đó $x$ bằng:

Nếu một mặt hàng được bán với giá $x$ đô la thì sẽ bị lỗ $15\%$ dựa trên chi phí. Tuy nhiên, nếu mặt hàng tương tự được bán với giá $y$ đô la thì sẽ có lợi nhuận là $15\%$ dựa trên chi phí. Tỷ lệ $y:x$ là:

Nếu $N,$ được viết trong cơ số $2,$ là $11000,$ thì số nguyên ngay trước $N,$ được viết trong cơ số $2,$ là:

Đặt phép toán nhị phân $*$ trên các cặp số nguyên có thứ tự được xác định bởi $(a,b)*(c,d)=(a-c,b+d).$ Sau đó, nếu $(3,2)*(0,0)$ và $(x,y)*(3,2)$ đại diện cho các cặp số nguyên giống hệt nhau, $x$ bằng:

Nếu một số $N,$ $N\ne0,$ giảm đi bốn lần nghịch đảo của nó, bằng một hằng số thực đã cho $R,$ thì với $R,$ đã cho này, tổng của tất cả các giá trị có thể có của $N$ là:

diện tích của vòng giữa hai vòng tròn đồng tâm là $12\dfrac12\pi$ inch vuông. Độ dài dây cung của đường tròn lớn tiếp xúc với đường tròn nhỏ, tính bằng inch, là:

Nếu các điểm $(1,y_1)$ và $(-1,y_2)$ nằm trên đồ thị của $y=ax^2+bx+c,$ và $y_1-y_2=-6,$ thì $b$ bằng:

Tam giác $ABC$ nội tiếp trong một đường tròn. Số đo của các cung nhỏ không chồng lên nhau $AB,$ $BC,$ và $CA$ lần lượt là $x+75^\circ,$ $2x+25^\circ,$ $3x-22^\circ.$ Khi đó, một góc trong của tam giác, tính bằng độ, là:

Số học trung bình cộng (trung bình thường) của năm mươi hai số nguyên dương liên tiếp bắt đầu bằng $2$ là:

Số điểm cách đều một đường tròn và hai tiếp tuyến song song với đường tròn là:

Cho các điểm $P(-1,-2)$ và $Q(4,2)$ trong mặt phẳng $xy$, điểm $R(1,m)$ được lấy sao cho $PR+RQ$ là giá trị tối thiểu. Khi đó $m$ bằng:

Đặt $F=\dfrac{6x^2+16x+3m}{6}$ là bình phương của một biểu thức tuyến tính trong $x.$ Khi đó $m$ có một giá trị cụ thể giữa:

Một vòng tròn có bán kính $r$ nằm trong vùng giới hạn bởi một vòng tròn có bán kính $R.$ diện tích giới hạn bởi vòng tròn lớn hơn là $\frac{a}{b}$ nhân với diện tích của vùng bên ngoài vòng tròn nhỏ hơn và bên trong vòng tròn lớn hơn. Khi đó $R:r$ bằng:

Tập hợp đầy đủ các giá trị $x$ thỏa mãn bất đẳng thức $\dfrac{x^2-4}{x^2-1}\gt0$ là tập hợp tất cả $x$ sao cho:

Trong một đường tròn có tâm tại $O$ và bán kính $r,$ dây cung $AB$ được vẽ với độ dài bằng $r$ đơn vị. Từ $O$ đường vuông góc với $AB$ cắt $AB$ tại $M.$ Từ $M$ đường vuông góc với $OA$ đáp ứng $OA$ tại $D.$ Xét về $r,$ thì diện tích của tam giác $MDA,$ thích hợp đơn vị vuông, là:

Khi $(a-b)^n,$ $n\ge2,$ $ab\ne0,$ được mở rộng theo định lý nhị thức, người ta thấy rằng, khi $a=kb,$ trong đó $k$ là số nguyên dương, tổng của số hạng thứ hai và thứ ba bằng 0. Khi đó $n$ bằng:

Phương trình $2^{2x}-8\cdot2^x+12=0$ được thỏa mãn bởi:

Số điểm chung của đồ thị

$$
(x-y+2)(3x+y-4)=0
$$

và

$$
(x+y-2)(2x-5y+7)=0
$$

là:

Số cặp thứ tự riêng biệt $(x,y),$ trong đó $x$ và $y$ có giá trị nguyên dương thỏa mãn phương trình $x^4y^4-10x^2y^2+9=0,$ là:

Đặt $P$ bằng tích của $3{,}659{,}893{,}456{,}789{,}325{,}678$ và $342{,}973{,}489{,}379{,}256.$ Số chữ số trong $P$ là: