AMC 12 năm 1961

Khi được đơn giản hóa, $\left(-\dfrac{1}{125}\right)^{-\frac{2}{3}}$ trở thành:

Một ô tô đi được $\frac{a}{6}$ feet trong $r$ giây. Nếu tốc độ này được duy trì trong $3$ phút thì nó di chuyển được bao nhiêu yard trong $3$ phút?

Nếu đồ thị của $2y+x+3=0$ và $3y+ax+2=0$ vuông góc thì giá trị của $a$ là:

Đặt tập hợp bao gồm các bình phương của các số nguyên dương được gọi là $u;$ do đó $u$ là tập hợp $1,$ $4,$ $9,$ $\ldots.$ Nếu một thao tác nhất định trên một hoặc nhiều thành viên của tập hợp luôn tạo ra một thành viên của tập hợp, chúng ta nói rằng tập hợp đó bị đóng theo thao tác đó. Khi đó $u$ được đóng theo:

Đặt $S=(x-1)^4+4(x-1)^3$ $+6(x-1)^2+4(x-1)+1.$ Khi đó $S$ bằng:

Khi được đơn giản hóa, $\log 8\div\log\dfrac18$ trở thành:

Khi đơn giản hóa, số hạng thứ ba trong khai triển $$
\left(\frac{a}{\sqrt{x}}-\frac{\sqrt{x}}{a^2}\right)^6
$$ là:

Cho hai góc đáy của một tam giác là $A$ và $B,$ với $B$ lớn hơn $A.$ Đường cao tới đáy chia góc đỉnh $C$ thành hai phần, $C_1$ và $C_2,$ với $C_2$ liền kề với cạnh $a.$ Khi đó:

Giả sử $r$ là kết quả của việc nhân đôi cả cơ số và số mũ của $a^b,$ $b\ne0.$ Nếu $r$ bằng tích của $a^b$ với $x^b,$ thì $x$ bằng:

Mỗi cạnh của tam giác $ABC$ là $12$ đơn vị. $D$ là chân đường vuông góc hạ từ $A$ lên $BC,$ và $E$ là trung điểm của $AD.$ Độ dài của $BE,$ trong cùng một đơn vị, là:

Hai tiếp tuyến được vẽ với một đường tròn từ một điểm bên ngoài $A;$ chúng tiếp xúc với đường tròn tại các điểm $B$ và $C,$ tương ứng. Tiếp tuyến thứ ba cắt đoạn $AB$ trong $P$ và $AC$ trong $R,$ và chạm vào đường tròn tại $Q.$ Nếu $AB=20,$ thì chu vi của tam giác $APR$ là:

Ba số hạng đầu tiên của cấp số nhân là $\sqrt2,$ $\sqrt[3]2,$ $\sqrt[6]2.$ Tìm số hạng thứ tư.

Ký hiệu $|a|$ có nghĩa là $a$ nếu $a$ là số dương hoặc 0 và $-a$ nếu $a$ là số âm. Đối với tất cả các giá trị thực của $t$ biểu thức $\sqrt{t^4+t^2}$ bằng:

Một hình thoi có một đường chéo dài gấp đôi đường chéo kia. Biểu thị cạnh của hình thoi theo $K,$ trong đó $K$ là diện tích của hình thoi tính bằng inch vuông.

Nếu $x$ nam giới làm việc $x$ giờ mỗi ngày trong $x$ ngày tạo ra $x$ bài viết thì số lượng bài viết (không nhất thiết phải là số nguyên) được tạo ra bởi $y$ nam giới làm việc $y$ giờ mỗi ngày trong $y$ ngày là:

Độ cao $h$ của một tam giác được tăng thêm một chiều dài $m.$ Phải lấy bao nhiêu từ đáy tương ứng $b$ để diện tích của tam giác mới bằng một nửa so với tam giác ban đầu?

Tuy nhiên, trong hệ thống số cơ số 10, số $526$ có nghĩa là $5\cdot10^2+2\cdot10+6.$ Trong Vùng đất toán học, các số được viết bằng cơ sở $r.$ Jones mua một chiếc ô tô ở đó với giá $440$ đơn vị tiền tệ (viết tắt là m.u.). Anh ta đưa cho người bán hàng một $1000$ m.u. hóa đơn và nhận lại, $340$ m.u. Cơ số $r$ là:

Những thay đổi hàng năm trong cuộc điều tra dân số của một thị trấn trong bốn năm liên tiếp lần lượt là $25\%$ tăng, $25\%$ tăng, $25\%$ giảm, $25\%$ giảm. Thay đổi ròng trong bốn năm, tính theo phần trăm gần nhất, là:

Xét đồ thị của $y=2\log x$ và $y=\log2x.$ Chúng ta có thể nói rằng:

Tập hợp các điểm thỏa mãn cặp bất đẳng thức $y>2x$ và $y>4-x$ được chứa hoàn toàn trong các góc phần tư: