AMC 12 năm 1960

Nếu $2$ là nghiệm (gốc) của $x^3+hx+10=0,$ thì $h$ bằng:

Phải mất $5$ giây để đồng hồ điểm chính xác $6$ giờ bắt đầu từ $6{:}00$ giờ. Nếu các lần nhấn cách đều nhau thì mất bao lâu, tính bằng giây, để điểm $12$ giờ?

Áp dụng cho hóa đơn cho $\$10{,}000$ chênh lệch giữa mức giảm giá $40\%$ và hai lần giảm giá liên tiếp là $36\%$ và $4\%,$ được biểu thị bằng đô la, là:

Mỗi góc trong số hai góc của một tam giác là $60^\circ$ và cạnh bên là $4$ inch. diện tích của tam giác, tính bằng inch vuông, là:

Số điểm phân biệt chung của đồ thị $x^2+y^2=9$ và $y^2=9$ là:

chu vi đường tròn của hình tròn là $100$ inch. Cạnh của hình vuông nội tiếp trong đường tròn này, tính bằng inch, là:

Đường tròn I đi qua tâm và tiếp xúc với đường tròn II. diện tích của hình tròn I là $4$ inch vuông. Khi đó diện tích của hình tròn II, tính bằng inch vuông, là:

Số $2.5252525\ldots$ có thể được viết dưới dạng phân số. Khi rút gọn về số hạng tối giản thì tổng của tử số và mẫu số của phân số này là:

Phân số $$
\frac{a^2+b^2-c^2+2ab}{a^2+c^2-b^2+2ac}
$$ là (với các giới hạn phù hợp về giá trị của $a,$ $b,$ và $c$):

Cho sáu phát biểu sau:

$(1)$ Tất cả phụ nữ đều là những người lái xe giỏi.

$(2)$ Một số phụ nữ là những người lái xe giỏi.

$(3)$ Không có người đàn ông nào là tài xế giỏi.

$(4)$ Tất cả đàn ông đều là những người lái xe tồi.

$(5)$ ít nhất một người đàn ông là người lái xe tồi.

$(6)$ Tất cả đàn ông đều là những người lái xe giỏi.

Câu lệnh phủ định câu lệnh $(6)$ là:

Với một giá trị cho trước của $k,$ tích các nghiệm của $$
x^2-3kx+2k^2-1=0
$$ là $7.$ Các nghiệm có thể được mô tả như sau:

Quỹ tích tâm của tất cả các đường tròn có bán kính cho trước $a,$ trong cùng một mặt phẳng, đi qua một điểm cố định là:

(Các) đa giác được hình thành bởi $y=3x+2,$ $y=-3x+2,$ và $y=-2,$ là (là):

Nếu $a$ và $b$ là số thực thì phương trình $3x-5+a=bx+1$ có nghiệm duy nhất $x$ [ký hiệu $a\ne0$ có nghĩa là $a$ khác 0]:

Tam giác I đều có cạnh $A,$ chu vi $P,$ diện tích $K,$ và bán kính ngoại tiếp $R$ (bán kính đường tròn ngoại tiếp). Tam giác II đều có cạnh $a,$ chu vi $p,$ diện tích $k,$ và bán kính đường tròn ngoại tiếp $r.$ Nếu $A$ khác $a,$ thì:

Trong hệ đếm có cơ số $5,$ cách đếm như sau: $1,$ $2,$ $3,$ $4,$ $10,$ $11,$ $12,$ $13,$ $14,$ $20,$ $\ldots$ Số có mô tả trong hệ thập phân là $69,$ khi được mô tả trong hệ cơ số $5$, là số có:

Công thức $N=8\cdot10^8\cdot x^{-\frac{3}{2}}$ cho biết, đối với một nhóm nhất định, số lượng cá nhân có thu nhập vượt quá $x$ đô la. Thu nhập thấp nhất, tính bằng đô la, của những cá nhân $800$ giàu có nhất là ít nhất:

Cặp phương trình $3^{x+y}=81$ và $81^{x-y}=3$ có:

Xét phương trình I: $x+y+z=46,$ trong đó $x,$ $y,$ và $z$ là các số nguyên dương và phương trình II: $x+y+z+w=46,$ trong đó $x,$ $y,$ $z,$ và $w$ là số nguyên dương. Sau đó:

Hệ số của $x^7$ trong khai triển $$
\left(\frac{x^2}{2}-\frac2x\right)^8
$$ là: