VMO 1978 — Bảng A

Tìm tất cả các số có ba chữ số $\overline{xyz}$ sao cho hai lần số đó bằng tổng của hai số $\overline{yzx}$ và $\overline{zxy}$.

Tìm tất cả những giá trị của $m$ sao cho hệ phương trình sau đây chỉ có một nghiệm
$$\begin{cases}x^2=2^{|x|}+|x|-y-m,\\x^2=1-y^2.\end{cases}$$

Ba cửa hàng lương thực $A,B,C$ tạo thành một tam giác $\triangle ABC$, trong đó $\widehat{CAB}=30^\circ$, $AB=0.75AC$ thường xuyên cung cấp mì sợi cho nhân dân trong vùng lần lượt theo tỷ lệ $5:4:3$. Phải đặt địa điểm cân mì sợi $M$ ở đâu để tiết kiệm chi phí chuyên chở biết rằng chi phí đó tỉ lệ với số lượng và đường đi.

Tìm ba phân số tối giản $\dfrac ad,\dfrac bd,\dfrac cd$ tạo thành một cấp số cộng biết rằng
$$\frac ba=\frac{1+a}{1+d}\quad\&\quad\frac cb=\frac{1+b}{1+d}.$$

Một con sông đào khúc đầu bề rộng $a$ mét đến một chỗ rẽ theo góc vuông bề rộng khúc sau là $b$ mét. Tìm chiều dài lớn nhất của một bè gỗ hình chữ nhật mà chiều ngang là $c$ mét để khi bè trôi từ khúc đầu sang khúc sau đến chỗ rẽ không bị tắc.

Cho hình hộp chữ nhật $ABCD.A'B'C'D'$. Chứng minh rằng có thể dựng được một tam giác có các cạnh bằng các khoảng cách từ $A,A',D$ đến đường chéo $BD'$ của hình hộp. Ký hiệu kích thước của hình hộp là $a_1,a_2,a_3$ và những khoảng cách nói trên là $m_1,m_2,m_3$. Hãy xác định hệ thức giữa $a_1,a_2,a_3,m_1,m_2,m_3$.