AMC 12 năm 1952

Câu hỏi 1

Nếu bán kính của một hình tròn là một số hữu tỉ thì diện tích của nó được cho bởi một số:

hợp lý
vô lý
tích phân
Một số chính phương
Không có cái nào trong số này

Hai lớp trung học đã làm bài kiểm tra giống nhau. Một lớp $20$ học sinh đạt điểm trung bình là $80\%$; lớp còn lại gồm $30$ học sinh đạt điểm trung bình là $70\%.$ Điểm trung bình của tất cả học sinh ở cả hai lớp là:

$75\%$
$74\%$
$72\%$
$77\%$
Không có cái nào trong số này

Câu hỏi 3

Biểu thức $a^3-a^{-3}$ bằng:

$\left(a-\dfrac1a\right)\left(a^2+1+\dfrac1{a^2}\right)$
$\left(\dfrac1a-a\right)\left(a^2-1+\dfrac1{a^2}\right)$
$\left(a-\dfrac1a\right)\left(a^2-2+\dfrac1{a^2}\right)$
$\left(\dfrac1a-a\right)\left(\dfrac1{a^2}+1+a^2\right)$
Không có cái nào trong số này

Câu hỏi 4

Chi phí $C$ khi gửi gói bưu kiện có trọng lượng $P$ pound, $P$ một số nguyên, là $10$ cent cho pound đầu tiên và $3$ cent cho mỗi pound bổ sung. Công thức tính chi phí là:

$C=10+3P$
$C=10P+3$
$C=10+3(P-1)$
$C=9+3P$
$C=10P-7$

Câu hỏi 5

Các điểm $(6,12)$ và $(0,-6)$ được nối với nhau bằng một đường thẳng. Một điểm khác trên dòng này là:

$(3,3)$
$(2,1)$
$(7,16)$
$(-1,-4)$
$(-3,-8)$

Câu hỏi 6

Sự khác biệt của các nghiệm của $x^2-7x-9=0$ là:

$+7$
$+\dfrac72$
$+9$
$2\sqrt{85}$
$\sqrt{85}$

Câu hỏi 7

Khi đơn giản hóa, $(x^{-1}+y^{-1})^{-1}$ bằng:

$x+y$
$\dfrac{xy}{x+y}$
$xy$
$\dfrac1{xy}$
$\dfrac{x+y}{xy}$

Câu hỏi 8

Hai đường tròn bằng nhau trong cùng một mặt phẳng không thể có số tiếp tuyến chung như sau:

$1$
$2$
$3$
$4$
Không có cái nào trong số này

Câu hỏi 9

Nếu $m=\dfrac{cab}{a-b},$ thì $b$ bằng:

$\dfrac{m(a-b)}{ca}$
$\dfrac{cab-ma}{-m}$
$\dfrac1{1+c}$
$\dfrac{ma}{m+ca}$
$\dfrac{m+ca}{ma}$

Câu hỏi 10

Một chiếc ô tô đi lên đồi với tốc độ $10$ dặm một giờ và xuống dốc tương tự với tốc độ $20$ dặm một giờ. Vận tốc trung bình trên cả chặng đường là:

$12\dfrac12$ mph
$13\dfrac13$ mph
$14\dfrac12$ mph
$15$ mph
Không có cái nào trong số này

Câu hỏi 11

Nếu $y=f(x)=\dfrac{x+2}{x-1},$ thì nói:

$x=\dfrac{y+2}{y-1}$
$f(0)=-2$
$f(1)=0$
$f(-2)=0$
$f(y)=x$

Câu hỏi 12

Tổng đến vô cùng của các số hạng của một cấp số nhân vô hạn là $6.$ Tổng của hai số hạng đầu tiên là $4\dfrac12.$ Số hạng đầu tiên của cấp số nhân là:

$3$ hoặc $1\dfrac12$
$1$
$2\dfrac12$
$6$
$9$ hoặc $3$

Câu hỏi 13

Hàm $x^2+px+q$ với $p$ và $q$ lớn hơn 0 có giá trị nhỏ nhất khi:

$x=-p$
$x=\dfrac p2$
$x=-2p$
$x=\dfrac{p^2}{4q}$
$x=-\dfrac p2$

Câu hỏi 14

Một ngôi nhà và cửa hàng đã được bán với giá $\$12000$ mỗi căn. Ngôi nhà đã được bán với mức lỗ $20\%$ giá thành và cửa hàng với mức lãi $20\%$ giá vốn. Toàn bộ giao dịch dẫn đến:

Không có mất mát hoặc đạt được
Mất $\$1000$
Đạt được $\$1000$
Đạt được $\$2000$
Không có cái nào trong số này

Câu hỏi 15

Các cạnh của một tam giác tỉ lệ với $6:8:9.$ Khi đó:

Hình tam giác bị tù
Các góc có tỷ lệ $6:8:9$
Tam giác là nhọn
Góc đối diện với cạnh lớn nhất bằng hai lần góc
đối diện với cạnh nhỏ nhất
Không có cái nào trong số này

Câu hỏi 16

Nếu đáy của hình chữ nhật được tăng thêm $10\%$ và diện tích không thay đổi thì độ cao sẽ giảm đi:

$9\%$
$10\%$
$11\%$
$11\dfrac19\%$
$9\dfrac1{11}\%$

Câu hỏi 17

Một thương gia đã mua một số hàng hóa với mức chiết khấu $20\%$ so với giá niêm yết. Anh ta muốn đánh dấu chúng ở mức giá mà anh ta có thể giảm giá $20\%$ so với giá đã đánh dấu và vẫn kiếm được lợi nhuận là $20\%$ từ giá bán. Phần trăm của giá niêm yết mà anh ta nên đánh dấu chúng là:

$20$
$100$
$125$
$80$
$120$

Câu hỏi 18

$\log p+\log q=\log(p+q)$ chỉ khi:

$p=q=0$
$p=\dfrac{q^2}{1-q}$
$p=q=1$
$p=\dfrac q{q-1}$
$p=\dfrac q{q+1}$

Câu hỏi 19

Góc $B$ của tam giác $ABC$ được chia ba bởi $BD$ và $BE,$ cắt nhau $AC$ tại $D$ và $E,$ tương ứng. Sau đó:

$\dfrac{AD}{EC}=\dfrac{AE}{DC}$
$\dfrac{AD}{EC}=\dfrac{AB}{BC}$
$\dfrac{AD}{EC}=\dfrac{BD}{BE}$
$\dfrac{AD}{EC}=\dfrac{AB\cdot BD}{BE\cdot
BC}$
$\dfrac{AD}{EC}=\dfrac{AE\cdot BD}{DC\cdot BE}$

Câu hỏi 20

Nếu $\dfrac xy=\dfrac34,$ thì biểu thức sai sau đây là:

$\dfrac{x+y}{y}=\dfrac74$
$\dfrac{y}{y-x}=\dfrac41$
$\dfrac{x+2y}{x}=\dfrac{11}3$
$\dfrac{x}{2y}=\dfrac38$
$\dfrac{x-y}{y}=\dfrac14$