PIMSO 2023 - Toán - Secondary 4 / Lớp 10 - Vòng Quốc gia

Tìm giá trị lớn nhất có thể của $k$ sao cho $\frac{100-k}{2k+1}$ là một số nguyên dương.

Tìm tổng các nghịch đảo của các ước dương của 100.

Tính $30-11+29-12+28-13+\ldots+21-20$.

2400 có bao nhiêu ước dương?

Nếu $x,y$ là các số nguyên dương, $xy+x+y=54$ và $y>x$ thì $x$ bằng bao nhiêu?

Hiệu tuyệt đối giữa số có bốn chữ số lớn nhất và nhỏ nhất có thể lập từ các chữ số 1, 4, 6, 7 và 8 bằng bao nhiêu?

Dùng cho Câu 7-9

Một huấn luyện viên thể hình xếp đúng một buổi tập cho mỗi người trong sáu người Len, May, Nan, Richie, Sam và Tim, mỗi ngày một buổi trong sáu ngày liên tiếp. Lịch phải thỏa các điều kiện:

- Buổi của May diễn ra sau buổi của Nan.
- Buổi của Tim diễn ra sau buổi của Richie.
- Buổi của Richie diễn ra đúng ba ngày sau buổi của Len.
- Buổi của Nan diễn ra vào ngày thứ nhất hoặc ngày thứ ba.

Nếu buổi của Nan được xếp vào ngày thứ nhất thì buổi của người nào sau đây bắt buộc phải được xếp vào ngày thứ sáu?

Dùng cho Câu 7-9

Một huấn luyện viên thể hình xếp đúng một buổi tập cho mỗi người trong sáu người Len, May, Nan, Richie, Sam và Tim, mỗi ngày một buổi trong sáu ngày liên tiếp. Lịch phải thỏa các điều kiện:

- Buổi của May diễn ra sau buổi của Nan.
- Buổi của Tim diễn ra sau buổi của Richie.
- Buổi của Richie diễn ra đúng ba ngày sau buổi của Len.
- Buổi của Nan diễn ra vào ngày thứ nhất hoặc ngày thứ ba.

Ai trong sáu người có thể có một lịch hợp lệ mà buổi của mình vào ngày thứ ba và một lịch hợp lệ khác mà buổi của mình vào ngày thứ năm?

Dùng cho Câu 7-9

Một huấn luyện viên thể hình xếp đúng một buổi tập cho mỗi người trong sáu người Len, May, Nan, Richie, Sam và Tim, mỗi ngày một buổi trong sáu ngày liên tiếp. Lịch phải thỏa các điều kiện:

- Buổi của May diễn ra sau buổi của Nan.
- Buổi của Tim diễn ra sau buổi của Richie.
- Buổi của Richie diễn ra đúng ba ngày sau buổi của Len.
- Buổi của Nan diễn ra vào ngày thứ nhất hoặc ngày thứ ba.

Nếu buổi của May được xếp vào ngày ngay trước hoặc ngay sau buổi của Sam thì buổi của Len bắt buộc được xếp vào ngày thứ ___.

Tìm tổng cấp số nhân vô hạn: $3+1.5+0.75+0.375+\ldots$

Một vòi vào có thể làm đầy bể nước trong 8 giờ. Một vòi ra cần thời gian gấp đôi để làm cạn bể. Nếu mở cả hai vòi thì mất bao lâu để làm đầy bể?

Mẹ vừa đổ đầy lọ bánh quy khi ba người con đi ngủ. Đêm đó, một người con thức dậy, ăn một nửa số bánh rồi ngủ tiếp. Sau đó, người con thứ hai thức dậy, ăn một nửa số bánh còn lại rồi ngủ tiếp. Tiếp nữa, người con thứ ba thức dậy, ăn một nửa số bánh còn lại, để lại 3 chiếc trong lọ. Ban đầu trong lọ có bao nhiêu chiếc bánh?

Cho $x,y,z,w>0$ và $x+y+z+w=12$. Giá trị lớn nhất của $xyzw$ bằng bao nhiêu?

Nếu $a,b,c$ là các nghiệm của đa thức $3x^3+12x^2+9x+8$ thì $ab+bc+ca$ bằng bao nhiêu?

Tìm giá trị nhỏ nhất có thể của $x$ thỏa phương trình $x^3-6x^2+11x-6=0$.

Hệ số của $x^4$ khi khai triển $(2x+3)^5$ bằng bao nhiêu?

Cho $a,b$ là các nghiệm của biểu thức bậc hai $x^2+14x+2$. Tính $1/a+1/b$.

Nếu $x^2-3x+1=0$ thì $x^2+1/x^2$ bằng bao nhiêu?

Hai dây AB và CD cắt nhau bên trong một đường tròn tại E. Nếu $AE=4$, $BE=6$, $CE=3$ thì DE bằng bao nhiêu?

Tứ giác WXYZ có $\angle W=30^\circ$, $\angle X=75^\circ$, $\angle Y=87^\circ$. Góc $\angle Z$ bằng bao nhiêu?