PIMSO 2025 - Toán - Lớp 8 - Vòng Quốc gia

Chữ số hàng đơn vị của dạng rút gọn của $\frac{27^{2025}}{3^{2026}}$ là gì?

Tìm số nguyên $k$ lớn nhất sao cho $90!$ chia hết cho $20^k$.

Tổng các nghiệm của $x^2-ax+b=0$ bằng bao nhiêu, biết a, b là số nguyên tố và các nghiệm là những số nguyên dương phân biệt?

BCNN của $(16^4)^2$, $(6^7)^4$ và m là $36^{16}$. Có bao nhiêu giá trị m?

Xét m là số nguyên dương.

Có m cặp có thứ tự (a, b) thỏa mãn ab=728. Nếu a, b là các số nguyên thì m bằng bao nhiêu?

Có bao nhiêu ước của 81 000 là số chính phương?

X, Y, Z là ba số nguyên tố liên tiếp, X < Y < Z. Tìm Z − X nếu 2X + 3Y + 4Z = 153.

Cho $x=\sqrt{9+4\sqrt5}$, tính $\frac{x^2+2x}{x^2+x-6}$. Gợi ý: Viết x dưới dạng $\sqrt a+\sqrt b$.

Tổng các chữ số của số $100^{2025}-2025$ viết trong hệ thập phân bằng bao nhiêu?

Giá trị nhỏ nhất của $f(x)=3x^2-12x+19$ là F; giá trị lớn nhất của $g(x)=-4x^2-40x-115$ là G. Tính F − G.

Phương trình $(3-x)^3+(4-x)^3=(7-2x)^3$ có các nghiệm $x_1,x_2,x_3$. Tính tổng ba nghiệm. Gợi ý: $a^3+b^3=(a+b)^3-3ab(a+b)$.

Tìm tổng mọi số thực thỏa mãn $6^x+2^{2x}+24^x-36^x-16^x=1$.

Cho $(a+b)^4+(a-b)^4=337$ và $a^2-b^2=8$, với a, b thực. Tính $a^2+b^2$.

RHST là hình chữ nhật có SH = 15 m; PHIL là hình vuông cạnh 12 m. Đỉnh S nằm trên cạnh LI, đỉnh P nằm trên cạnh TR. Tìm diện tích hình chữ nhật.

Có bao nhiêu giá trị k để phương trình $x^3-3x+k=0$ có hai nghiệm phân biệt thuộc khoảng (0, 1)?

Trong hình chữ nhật PHIL, R là trung điểm PH, S là trung điểm LR. Diện tích tam giác PSI là 30 cm². Tìm diện tích hình chữ nhật.

Trong hình quạt tròn dưới đây, PH và HL là các đường thẳng giao nhau tại H trên đường tròn tâm O. Tính góc PHL.

Nhân vật trò chơi phải lên 10 tầng để tới đỉnh tháp. Mỗi lượt có thể nhảy lên 1 hoặc 2 tầng. Có bao nhiêu cách tới đỉnh?

Tam giác ABC có các cạnh 10, 15, x và không phải tam giác cân. Có bao nhiêu giá trị x?

Nguồn thiếu miền giá trị x. Để dùng các lựa chọn hữu hạn, giả sử độ dài cạnh là số nguyên.

Phân phối ngẫu nhiên 3 quả bóng phân biệt vào 3 hộp. Số cách để có nhiều nhất [nguồn thiếu số từ] hộp trống là bao nhiêu?

Nguồn thiếu từ “một”. Hiểu là “nhiều nhất một hộp trống”; các hộp phân biệt.