HKIMO 2020 Khối 9 Vòng quốc gia (Heat) Đề 01

Có bao nhiêu số nguyên x thỏa $-6<(8-2 x)/8\le 4$?

Tìm số tiếp theo theo quy luật của dãy $2,5,10,17,26,37,50,\underline{\quad},\ldots$.

Có 625 quả bóng. Peter và Mary luân phiên lấy từ 3 đến 10 quả. Ai lấy quả cuối cùng thì thắng, Peter đi trước. Trước khi chơi, Peter được thêm bóng. Anh ấy phải thêm ít nhất bao nhiêu quả để chắc chắn thắng?

Cho $A: B=4:3$, $B: C=5:1$, $C: D=3:2$ và $A+B+C+D=2920$. Tính C.

Hộp có 24 chiếc tất đỏ, 10 chiếc trắng, 20 chiếc xanh. Phải lấy ngẫu nhiên ít nhất bao nhiêu chiếc để bảo đảm có 5 đôi không trắng và 2 đôi không đỏ? Mỗi đôi gồm hai chiếc cùng màu.

Nếu $x^4+mx^3+5 x^2+nx-6$ chia hết cho $x^2-3 x+2$, tính mn.

Cho $x>0$ và phân số liên tục lặp lại $x=2-\dfrac{6}{3+\dfrac{8}{2-\dfrac{6}{3+\cdots}}}$. Tính x.

Tìm giá trị nhỏ nhất của $6 x^2+60 x+49$ với x thực.

Cho $f(x)=ax^2+bx+c$, $f(-5)=-24$, $f(5)=76$, $f(-1)=27$. Tính $f(1)$.

Phân tích $x^2-7 y^2+6 xy+2 x+14 y$ thành nhân tử.

Tìm số dư khi chia $28^{64}$ cho 13.

Nếu $6 x\equiv 11\pmod{13}$, tìm số nguyên chẵn ba chữ số x nhỏ nhất.

Nếu $k^2+(n-623)k-2499=0$ và $n=1+3+5+7+\cdots+k$, tính nk.

Số $\overline{20202021 ab}$ chia hết cho 44. Tìm a·b lớn nhất.

Với x thực, tìm giá trị lớn nhất của $36/\sqrt{x^2+8 x+97}$.

Một góc trong của đa giác đều n cạnh bằng $(9 n+21)^\circ$. Tìm n.

Tính diện tích hình giới hạn bởi hai trục tọa độ và $x=15-\frac 94 y$.

Tam giác có các cạnh 13, 12, 7 và diện tích $n\sqrt 3$. Tính n.

Góc nhọn x thỏa $\cos x=7/13$. Tính $\tan x-\sin x$ dưới dạng căn thức.

Trong hình, C là tâm nội tiếp tam giác PQR, $CE\perp PQ$, $CF\perp QR$, $CG\perp RP$. Biết CP=53, PG=45, CF=7 x, tìm x.