HKIMO 2018 Khối 10-11-12 Vòng quốc gia (Heat) Đề 03

Theo quy luật, điền chỗ trống: $2,6,15,28,55,78,\_\_$.

n đường thẳng chia hình tròn thành 232 phần. Tìm n nhỏ nhất.

Các số nguyên tố x,y,z thỏa $6x^y+y^x=3z$. Tìm z nhỏ nhất.

Cuộc thi có 31 câu. Trả lời đúng được 2 điểm, sai hoặc bỏ trống bị trừ 2 điểm. Cần ít nhất bao nhiêu thí sinh để chắc có 3 người cùng điểm? (Đây là câu đầu trong hai câu nguồn cùng in số “5”.)

Hộp có 17 tất đỏ,13 tất trắng,16 tất xanh. Lấy ngẫu nhiên ít nhất bao nhiêu chiếc để chắc có 2 đôi không đỏ và 3 đôi không xanh?

Quy ước: mỗi đôi gồm hai chiếc cùng màu; năm đôi chọn phải rời nhau.

Nếu $2x^4-19x^3+mx^2-nx+36$ chia hết cho $x^2-4x+3$, tìm m+n.

Nếu $\sqrt[2019]{x}+1/\sqrt[2019]{x}=2$, tính $x^{2019}+1/x^{2019}$.

Nếu $3x=2+\dfrac5{4+\dfrac5{4+\dfrac5{4+\cdots}}}$, tìm x.

Với k nguyên, tìm k nhỏ nhất để $(k^2-5)x^2+kx-2=0$ vô nghiệm thực.

Phân tích $2x^4+5x^3-11x^2-20x+12$ thành nhân tử.

Tìm số nguyên dương x nhỏ nhất thỏa $4x\equiv3\pmod{11}$ và $6x\equiv2\pmod8$.

Hiện là tháng Chín. Sau $9^{2019}$ tháng là tháng nào?

Với x thực, tìm giá trị lớn nhất của $1/\sqrt{2x^2+32x+199}$.

Nếu $4000!/15^n$ là số nguyên dương, tìm n nguyên lớn nhất.

Số mười chữ số $\overline{20190316AB}$ chia hết 66. Tìm A×B lớn nhất.

Tìm diện tích miền giới hạn bởi Ox và hai đường $x=2y-3$, $2x+y=9$.

Tính diện tích tứ giác có các đỉnh A(−3,5), B(5,7), C(6,−2), D(−2,−1).

Sợi dây uốn được 3 đường tròn bán kính 21. Cắt chính sợi dây đó thành 6 tam giác giống nhau. Tìm diện tích lớn nhất một tam giác, lấy $\pi=22/7$.

Peter đi 12 km về đông nam,6 km về tây nam, rồi $2\sqrt2$ km về đông. Anh cách điểm đầu bao nhiêu km?

Bể dài 15 cm, rộng 10 cm, cao 18 cm, chứa nước sâu 3 cm. Đặt tám khối lập phương đặc cạnh 5 cm vào bể. Tìm độ tăng mực nước lớn nhất, theo cm.

Quy ước mô hình: khối đặc không nổi, mặt song song với bể; không giữ kín nước hoặc khí và toàn bộ nước được bảo toàn.