HKIMO 2018 Khối 9 Vòng quốc gia (Heat) Đề 03

Tìm số còn thiếu theo quy luật của dãy $1,2,6,12,25,48,\underline{\quad},\ldots$.

Các đường thẳng chia một hình tròn thành 154 miền. Tìm số đường thẳng n nhỏ nhất.

Các số nguyên tố x, y, z thỏa $2x^y+y^x=z$. Tìm z nhỏ nhất.

Cuộc thi có 20 bài. Mỗi câu đúng được 3 điểm, sai trừ 1 điểm, bỏ trống được 0. Cần ít nhất bao nhiêu thí sinh để bảo đảm có 3 người cùng tổng điểm?

Hộp có 15 tất đỏ, 21 trắng, 17 xanh. Phải lấy ngẫu nhiên ít nhất bao nhiêu chiếc để bảo đảm 2 đôi không trắng và 2 đôi không đỏ? Mỗi đôi gồm hai chiếc cùng màu.

Cho biểu thức lặp $x=3-\dfrac2{3-\dfrac2{3-\dfrac2{3-\cdots}}}$. Tìm tổng các giá trị có thể của x.

Chưa giải quyết cách hiểu nguồn: khóa in 3 là tổng hai nghiệm điểm bất động hình thức 1 và 2. Các phép cắt hữu hạn thông thường của phân số liên tục vô hạn đã in chỉ hội tụ đến 2. Nguồn không phân biệt hai nghĩa; cần kiểm tra thủ công và không chốt đáp án vô điều kiện.

Phân tích $x^2-y^2+x-7y-12$ thành nhân tử.

Các số nguyên dương a, b thỏa $\sqrt{18-12\sqrt2}=a\sqrt3-\sqrt b$. Tính a+b.

Nếu $x^4-8x^3+mx^2-nx+8$ chia hết cho $x^2-6x+8$, tính m+n.

Tìm giá trị lớn nhất của $-x^2+12x-19$ với x thực.

Số sáu chữ số $\overline{20A1B8}$ chia hết cho 12 và A>B. Tính tổng các giá trị khác nhau có thể của A+B.

Với x thực, tìm giá trị lớn nhất của $1/\sqrt{x^2+14x+99}$.

Số nguyên x thỏa $7x\equiv107\pmod{11}$. Tìm giá trị nhỏ nhất của $|x|$.

Bây giờ là tháng Năm. Sau $7^{20}$ tháng sẽ là tháng nào?

Các số thực x, y thỏa $x-y=6$, $x^2+y^2=40$. Tính $2x^3+3x^2y-3xy^2-2y^3$.

Tính diện tích hình giới hạn bởi hai trục tọa độ và $x=9-\frac38y$.

Peter đi 8 km về đông bắc, 4 km về tây bắc và $\sqrt2$ km về tây. Anh ấy cách điểm xuất phát bao xa?

Một góc trong của đa giác đều n cạnh bằng 6 lần góc ngoài cộng 12°. Tìm n>0.

Tính diện tích tam giác có các đỉnh $A=(-3,6)$, $B=(-1,3)$, $C=(1,-5)$.

Tìm khoảng cách ngắn nhất từ (1, 5) đến $y=\frac5{12}x-6$.