AIME năm 1987

Một cặp có thứ tự $(m,n)$ gồm các số nguyên không âm được gọi là “đơn giản” nếu phép cộng $m+n$ trong cơ sở $10$ không yêu cầu mang theo. Tìm số cặp có thứ tự đơn giản có tổng bằng $1492.$

Khoảng cách lớn nhất có thể có giữa hai điểm là bao nhiêu, một điểm trên hình cầu bán kính $19$ có tâm tại $(-2,-10,5)$ và điểm còn lại trên hình cầu bán kính $87$ có tâm ở $(12,8,-16)?$

Ước thực sự của một số tự nhiên là ước số nguyên dương khác với $1$ và chính số đó. Một số tự nhiên lớn hơn $1$ được gọi là số đẹp nếu nó bằng tích của các ước thực sự riêng biệt của nó. Tổng của mười số đẹp đầu tiên là bao nhiêu?

Tìm diện tích của vùng được bao quanh bởi biểu đồ của $|x-60|+|y|=|\frac{x}{4}|.$

Tìm $3x^2y^2$ nếu $x$ và $y$ là các số nguyên sao cho $y^2+3x^2y^2=30x^2+517.$

Hình chữ nhật $ABCD$ được chia thành bốn phần bằng nhau diện tích bởi năm đoạn như minh họa, trong đó $XY=YB+BC+CZ,$ $YB+BC+CZ=ZW,$ $ZW=WD+DA+AX,$ và $PQ\parallel AB.$ Tìm $AB$ (tính bằng cm) nếu $BC=19$ cm và $PQ=87$ cm.

Đặt $[r,s]$ biểu thị bội số ít phổ biến nhất của các số nguyên dương $r,$ $s.$ Tìm số bộ ba có thứ tự $(a,b,c)$ thỏa mãn $[a,b]=1000,$ $[b,c]=2000,$ và $[c,a]=2000.$

Số nguyên dương lớn nhất $n$ mà có một số nguyên duy nhất $k$ sao cho $\frac8{15}<\frac{n}{n+k}<\frac7{13}?$

Tam giác $ABC$ có một góc vuông tại $B$ và chứa một điểm $P$ mà $PA=10,$ $PB=6,$ và $\angle APB=\angle BPC=\angle CPA.$ Tìm $PC.$

Al bước xuống một chiếc thang cuốn đang di chuyển lên và đếm $150$ bước. Bob bước tới và đếm $75$ bước. Nếu tốc độ đi bộ của Al gấp ba lần tốc độ của Bob thì có thể nhìn thấy được bao nhiêu bước trong một thời điểm nhất định? Giả sử điều này là không đổi.

Tìm $k$ lớn nhất có thể mà $3^{11}$ có thể biểu thị dưới dạng tổng của $k$ số nguyên dương liên tiếp.

Đặt $m$ là số nguyên nhỏ nhất có căn bậc ba có dạng $n+r,$ trong đó $n$ là số nguyên dương và $0<r<\frac{1}{1000}.$ Tìm $n.$

Một chuỗi $r_1,$ $r_2,$ $\ldots,$ $r_n$ gồm các số thực riêng biệt có thể được sắp xếp theo thứ tự tăng dần bằng một hoặc nhiều “bubble pass”. Một bong bóng đi qua một chuỗi nhất định bao gồm việc so sánh số hạng thứ hai với số hạng đầu tiên và hoán đổi chúng khi và chỉ khi số hạng thứ hai nhỏ hơn, sau đó so sánh số hạng thứ ba với số hạng thứ hai và hoán đổi chúng khi và chỉ khi số hạng thứ ba nhỏ hơn, v.v. theo thứ tự, thông qua việc so sánh số hạng cuối cùng, $r_n,$ với số hạng trước đó hiện tại và hoán đổi chúng khi và chỉ nếu số hạng cuối cùng nhỏ hơn.

Ví dụ bên dưới cho thấy cách chuyển đổi chuỗi $1,$ $9,$ $8,$ $7$ thành chuỗi $1,$ $8,$ $7,$ $9$ bằng một lần chuyển bong bóng. Các con số so sánh ở mỗi bước được gạch chân.

$$
\begin{aligned} \underline{1}\quad\underline{9}\quad8\quad7\\ 1\quad\underline{9}\quad\underline{8}\quad7\\ 1\quad8\quad\underline{9}\quad\underline{7}\\ 1\quad8\quad7\quad9 \end{aligned}
$$

Giả sử rằng $n=40,$ và các số hạng của dãy ban đầu $r_1,$ $r_2,$ $\ldots,$ $r_{40}$ khác biệt với nhau và theo thứ tự ngẫu nhiên. Giả sử $\frac{p}{q},$ theo số hạng thấp nhất, là xác suất mà số bắt đầu là $r_{20}$ sẽ kết thúc ở vị trí thứ $30$ sau khi một bong bóng trôi qua. Tìm $p+q.$

Tính toán $$
\frac{\begin{gathered}(10^4+324)(22^4+324)\\{}\cdot(34^4+324)(46^4+324)\\{}\cdot(58^4+324)\end{gathered}}{\begin{gathered}(4^4+324)(16^4+324)\\{}\cdot(28^4+324)(40^4+324)\\{}\cdot(52^4+324)\end{gathered}}.
$$

Các hình vuông $S_1,$ $S_2$ được ghi trong tam giác vuông $ABC$ như được hiển thị. Tìm $AC+CB$ nếu $\operatorname{area}(S_1)=441$ và $\operatorname{area}(S_2)=440.$