APMOPS 2014

Hình vẽ là một bát giác đều. Tìm số đo góc $SRT$ theo độ, trong đó $R$ là tâm của hình ngôi sao.

Khẳng định nào sau đây đúng?

(1) $\frac{15}{19}<\frac79<\frac34$

(2) $\frac34<\frac{15}{19}<\frac79$

(3) $\frac79<\frac{15}{19}<\frac34$

(4) $\frac34<\frac79<\frac{15}{19}$

(5) $\frac79<\frac34<\frac{15}{19}$

Nhập số thứ tự của phương án.

Tìm số nguyên dương nhỏ nhất có tổng các chữ số bằng 29.

Abel và Jim cùng chạy đua trên đường chạy dài 300 mét. Họ xuất phát cùng lúc tại cùng một điểm. Abel chạy với vận tốc không đổi 5 m/s, còn Jim chạy với vận tốc không đổi 4,2 m/s. Abel đã chạy xong bao nhiêu vòng trọn vẹn trước khi lần đầu tiên vượt Jim?

Chỉ một trong bốn số sau là số chính phương. Đó là số nào?

(1) 76186; (2) 750235; (3) 921438; (4) 2660161.

Nhập số thứ tự của phương án.

Như hình vẽ, $\triangle ABC$ là tam giác vuông cân có $AB=28$ cm. $BC$ là đường kính của nửa đường tròn và $D$ là trung điểm cung $BC$. Tính diện tích phần tô đậm theo cm$^2$. (Lấy $\pi=\frac{22}{7}$.)

Ba quân cờ, mỗi quân mang một màu đỏ, đen hoặc trắng khác nhau, được đặt lên bàn cờ $7\times7$. Hai quân bất kỳ không được ở cùng hàng hoặc cùng cột. Có bao nhiêu cách đặt ba quân cờ?

Có 6 túi lần lượt chứa 18, 19, 21, 23, 25 và 34 quả bóng. Một túi chỉ chứa bóng đỏ, còn năm túi kia chỉ chứa bóng xanh. Jason lấy ba túi và Jamie lấy hai túi. Túi còn lại chứa bóng đỏ. Biết rằng số bóng xanh của Jason gấp đôi số bóng xanh của Jamie. Tìm số bóng đỏ trong túi còn lại.

Một bể nước có thể được đổ đầy bằng cách mở vòi A trong 8 giờ rồi mở vòi B trong 15 giờ. Cũng bể đó có thể được đổ đầy bằng cách mở vòi A trong 5 giờ rồi mở vòi B trong 24 giờ. Nếu chỉ dùng vòi A thì cần bao nhiêu giờ để đổ đầy bể?

Một tờ giấy hình vuông được gấp hai lần theo các đường chéo như các hình bên dưới. Sau đó cắt theo đường nét đứt. Khi mở tờ giấy ra, hình nào trong các phương án biểu diễn đúng tờ giấy? Nhập số thứ tự của phương án.

Tính $20142013\times20132014-20132013\times20142014$.

Alan, Ben, Chris và Daniel tham gia một cuộc thi khoa học gồm 5 câu hỏi Đúng hoặc Sai. Bảng dưới cho biết câu trả lời và điểm của mỗi người. Mỗi câu trả lời đúng được 1 điểm. T nghĩa là Đúng, F nghĩa là Sai.

Câu trả lời cho các câu 1–5 và điểm:

Alan: T, F, F, F, F; được 2 điểm.

Ben: F, T, F, F, T; được 3 điểm.

Chris: F, T, F, T, T; được 4 điểm.

Daniel: F, T, T, F, T; chưa biết điểm.

Daniel được bao nhiêu điểm?

Một chương trình máy tính tạo ra tất cả các mã gồm năm chữ cái lấy từ A, B, C, D, E, F, G, X, Y, Z (được phép lặp lại). Khi sắp xếp theo thứ tự bảng chữ cái, ta được danh sách: AAAAA, AAAAB, ..., AAAAZ, AAABA, AAABB, ..., ZZZZY, ZZZZZ. Có bao nhiêu mã nằm giữa CZYGB và XEFDA, không kể hai mã này?

Tìm số nguyên có ba chữ số lớn nhất $N$ sao cho khi chia $N$ cho 3, 7, 11, các số dư lần lượt là 1, 3, 8.

Tính $10\times\left(\frac{1}{1\times2}+\frac{5}{2\times3}+\frac{11}{3\times4}+\cdots+\frac{71}{8\times9}+\frac{89}{9\times10}\right)$.

Như hình vẽ, một hình vuông được chia thành 9 miền. Miền $E$ là hình vuông, các miền còn lại là hình chữ nhật. Diện tích các hình chữ nhật $A,B,C$ lần lượt là $18$ cm$^2$, $63$ cm$^2$ và $189$ cm$^2$. Tìm chu vi hình chữ nhật $D$.

Tổng của 47 số nguyên dương đôi một khác nhau bằng 2014. Nếu trong đó có $n$ số chẵn thì giá trị nhỏ nhất có thể của $n$ là bao nhiêu?

Số nguyên có 9 chữ số $\overline{abcdefghi}$ được lập từ các chữ số $1,2,3,4,5,6,7,8,9$, mỗi chữ số dùng đúng một lần. Nếu $A=\overline{abc}+\overline{bcd}+\overline{cde}+\overline{def}+\overline{efg}+\overline{fgh}+\overline{ghi}$ thì giá trị lớn nhất của $A$ là bao nhiêu?

Cho nửa đường tròn đường kính $AG$ như hình. Các điểm $B,C,D,E,F$ chia toàn bộ cung nửa đường tròn thành 6 phần bằng nhau. $DF$ và $CG$ là các đoạn thẳng. Biết diện tích nửa hình tròn bằng $60$ cm$^2$, tính diện tích phần tô đậm theo cm$^2$.

Như hình bên dưới, các khối lập phương cạnh 1 cm được ghép thành một dãy khối. Tính diện tích toàn phần của khối thứ 20 theo cm$^2$.