APMOPS 2005

Trên mặt phẳng có một tam giác và một đường tròn. Hai hình đó có thể chia mặt phẳng thành nhiều nhất bao nhiêu miền?

Hình vẽ là hình chữ nhật $ABCD$. $P,Q$ lần lượt là trung điểm của $AB,CD$. Phần tô đậm chiếm bao nhiêu phần hình chữ nhật?

Lỗi nguồn: ảnh được cung cấp không có miền tô đậm nhìn thấy được. Hình gốc được giữ bên dưới; không thể xác định duy nhất miền mà đề muốn hỏi.

Có một cốc nước và một cốc rượu. Rót một ít nước từ cốc nước sang cốc rượu. Sau đó rót trở lại cốc nước một lượng hỗn hợp rượu-nước bằng lượng vừa rót. Phát biểu nào sau đây đúng?

Hai hình vuông cạnh lần lượt 4 cm và 6 cm chồng lên nhau một phần như hình. Hiệu giữa diện tích hai phần tô đậm A và B là bao nhiêu? Nhập diện tích theo xentimét vuông.

Hình vẽ là một bảng phi tiêu. Cần ít nhất bao nhiêu lần ném để đạt đúng 100 điểm?

Tính $1-\dfrac56+\dfrac7{12}-\dfrac9{20}+\dfrac{11}{30}-\dfrac{13}{42}+\dfrac{15}{56}-\dfrac{17}{72}+\dfrac{19}{90}$.

Julia và Timothy mỗi người có một số tiền. Số tiền Julia bằng $3/5$ số tiền Timothy. Nếu Timothy đưa Julia 168 đô la thì số tiền còn lại của Timothy bằng $7/9$ số tiền Julia lúc đó. Ban đầu Julia có bao nhiêu đô la?

Chia một số (số bị chia) cho một số khác (số chia), được thương 4 và dư 8. Tổng của số bị chia, số chia, thương và số dư là 415. Tìm số bị chia. Lưu ý: 17 chia 3 được thương 5 và dư 2.

Trên mỗi đường thẳng trong hai đường thẳng song song có 6 điểm phân biệt. Có bao nhiêu tam giác khác nhau được tạo bởi 3 trong 12 điểm đó?

Sau 12 giờ trưa, phải qua bao nhiêu giờ để kim giờ và kim phút của đồng hồ trùng nhau lần đầu?

Hai hình chữ nhật có chiều dài lần lượt là 11 m và 19 m. Tổng diện tích của chúng là 321 m². Tìm hiệu hai diện tích, theo mét vuông. Lưu ý: các chiều rộng đều là số nguyên.

Quy ước biên tập: chiều dài được nêu là cạnh dài hơn, nên chiều rộng không vượt quá nó; đáp án gốc cần quy ước này.

Lala chỉ nói thật vào thứ Hai, thứ Tư, thứ Sáu và Chủ nhật. Nana chỉ nói thật vào thứ Hai, thứ Ba, thứ Tư và thứ Năm. Hỏi ngày nào cả hai cùng nói: “Hôm qua tôi nói dối”?

Hình vẽ có nửa đường tròn $ACB$ với đường kính $AB=21$ cm. Góc $DAB=30^\circ$ và cung $DB$ thuộc một đường tròn khác có tâm $A$. Dùng $\pi=22/7$, tính chu vi phần tô đậm theo xentimét.

Tính $20042005\times20052004-20042004\times20052005$.

Có bao nhiêu cách viết $7/12$ thành tổng của hai phân số tối giản có mẫu số khác nhau và mỗi mẫu không lớn hơn 12?

Có 72 học sinh lớp 6. Mỗi bạn đóng số tiền như nhau để mua sách giáo khoa toán. Tổng số tiền là $\square35.0\square$ đô la, trong đó hai chữ số được biểu thị bằng $\square$ không đọc được. Mỗi học sinh đóng bao nhiêu đô la?

Các số như 1001, 23432, 897798, 3456543 được gọi là số đối xứng (đọc xuôi và ngược như nhau). Dùng đủ các chữ số 2, 7, 0, 4 và mỗi chữ số không quá hai lần, lập được bao nhiêu số đối xứng khác nhau?

Ba lớp A, B, C có số học sinh như sau: lớp A nhiều hơn lớp B 2 bạn; lớp B nhiều hơn lớp C 1 bạn. Tích số học sinh của ba lớp là 99360. Lớp A có bao nhiêu học sinh?

Tính $1+2+2^2+2^3+\cdots+2^{11}$. Lưu ý: $2^2=2\times2$, $2^3=2\times2\times2$.

Abel, Ben, Chris thi chạy 100 m. Khi Abel đến vạch 100 m, Ben đang ở vạch 90 m. Khi Ben đến vạch 100 m, Chris đang ở vạch 90 m. Abel thắng Chris bao nhiêu mét? Lưu ý: cả ba chạy với vận tốc không đổi.