APMOPS 2007

Tính $\left(1+\frac21\right)\left(1+\frac22\right)\left(1+\frac23\right)\cdots\left(1+\frac2{26}\right)\left(1+\frac2{27}\right)$.

Hình vẽ gồm 5 hình tròn bằng nhau. Trên phiếu trả lời, hãy vẽ một đường thẳng chia hình thành hai phần có diện tích bằng nhau.

Hai hình vẽ là hai tam giác vuông cân bằng nhau. Nếu hình vuông tô trong hình A có diện tích 50 cm$^2$, hình vuông tô trong hình B có diện tích bao nhiêu cm$^2$?

Một khối gỗ hộp chữ nhật kích thước $30\times10\times6$ cm được cắt thành nhiều nhất các khối lập phương cạnh 5 cm. Tính thể tích gỗ còn lại theo cm$^3$.

Hình vẽ gồm 2007 hình chữ nhật bằng nhau được sắp xếp như đã cho. Chữ A biểu thị số nào?

Hình vẽ cho hình thang $ABCD$ có $AD=BC$. Nếu $BD=7$ cm và $\angle ABD=45^\circ$, tính diện tích hình thang theo cm$^2$.

Một sinh vật sinh sản bằng cách phân đôi. Mỗi lần phân đôi mất 5 phút. Nếu ban đầu có một sinh vật thì hộp đầy sau 1 giờ. Nếu bắt đầu với hai sinh vật thì hộp đầy sau bao nhiêu phút?

Biết $a,b,c$ là ba số nguyên khác nhau từ 1 đến 9. Tìm giá trị lớn nhất của $\frac{a+b+c}{abc}$.

Hình vẽ gồm một hình tròn bán kính 3 cm, hai nửa hình tròn bán kính 2 cm và hai nửa hình tròn bán kính 1 cm. Tìm tỉ số diện tích các miền $A,B,C$.

Năm 2005, John và Mary có cùng số tiền tiêu vặt mỗi tháng. Năm 2006, tiền của John tăng 10%, của Mary giảm 10%. Năm 2007, tiền của John giảm 10%, của Mary tăng 10%. Phát biểu nào đúng?

Xét các số có 9 chữ số được lập bằng cách dùng mỗi chữ số từ 1 đến 9 đúng một lần. Có bao nhiêu số nguyên tố trong số đó?

Nước nở thêm 10% thể tích khi đông đá. Một hộp chữ nhật có đáy $22\times33$ cm, cao 44 cm. Cần đổ nước sâu bao nhiêu cm để khi đông hoàn toàn, nước đá vừa đầy hộp?

Hai đường tròn có chung tâm $O$. Dây $AB$ của đường tròn ngoài dài 14 cm và tiếp xúc với đường tròn nhỏ tô bên trong. Tính diện tích miền không tô theo cm$^2$. Lấy $\pi=22/7$.

Joan đạp xe 1 km xuôi gió hết 4 phút và quay về ngược gió hết 5 phút. Nếu không có gió, cô đi 1 km hết bao nhiêu phút? Giả sử vận tốc đạp xe và vận tốc gió không đổi.

Biết $\sqrt{1+1\times2\times3\times4}=5$, $\sqrt{1+2\times3\times4\times5}=11$, $\sqrt{1+3\times4\times5\times6}=19$, $\sqrt{1+4\times5\times6\times7}=29$. Tính $\sqrt{1+204\times205\times206\times207}$.

Peter đi bộ một vòng đường chạy còn Jane chạy nhiều vòng cùng chiều. Hai người xuất phát và kết thúc cùng lúc. Trong khoảng đó Jane vượt Peter hai lần. Nếu Jane chạy ngược chiều thì trong khoảng giữa lúc xuất phát và kết thúc, cô gặp Peter bao nhiêu lần? Giả sử vận tốc không đổi.

Ba đồng hồ không có kim giờ. Kim phút của A, B, C chạy nhanh, mỗi giờ lần lượt nhanh thêm 2, 6, 15 phút. Lúc 12 giờ trưa, cả ba kim phút đều chỉ số 12. Sau bao nhiêu giờ, ba kim lần đầu tiên lại cùng chỉ một điểm vào cùng lúc?

$ABCD$ là hình chữ nhật; các bộ điểm $A,E,F$; $B,E,H$; $H,G,C$; $F,G,D$ thẳng hàng. Tứ giác $EFGH$ có diện tích 82 cm$^2$. Tính tổng diện tích các miền tô theo cm$^2$.

Bốn thẻ đều có một mặt là chữ và mặt kia là số. Các mặt nhìn thấy là (a) A, (b) 1, (c) 2, (d) B. John nói rằng mọi thẻ có chữ A ở một mặt đều có số 1 ở mặt kia. Cần lật hai thẻ nào để kiểm tra phát biểu này?

Hình vẽ cho tứ giác $ABCD$ có $AB=AD=a$ cm, $BC=CD=b$ cm, với $a>b$ và cả hai là số nguyên. Diện tích bằng 385 cm$^2$. Tìm chu vi nhỏ nhất theo cm. Lưu ý nguồn: hình không có ký hiệu góc vuông; đáp án nguồn dường như giả sử có góc vuông. Lời giải phân tích điểm không nhất quán này.