APMOPS 2008

Hiệu giữa tổng 2008 số chẵn đầu tiên và tổng 2008 số lẻ đầu tiên là bao nhiêu?

Ba cạnh của một tam giác có độ dài là các số nguyên liên tiếp và chu vi lớn hơn 2008 cm. Chu vi nhỏ nhất có thể là $x$ cm. Tìm $x$.

Tính $2008\times20072007-2007\times20082007$.

Một tờ giấy hình chữ nhật dài 8 cm. Khi gấp đôi chính xác, tỉ số chiều dài và chiều rộng không đổi. Bình phương chiều rộng ban đầu là $x$ cm$^2$. Tìm $x$.

Các số từ 1 đến 10 được đặt vào các hình tròn sao cho bốn số trên mỗi một trong ba đường đều có tổng 21. Ba đường cùng đi qua hình tròn trung tâm ghi n. Tìm n.

Tính $(56789+67895+78956+89567+95678)\div5$.

Một đường tròn tiếp xúc với các cạnh hình vuông lớn và đi qua các đỉnh hình vuông nhỏ. Diện tích hình vuông nhỏ là 9 cm$^2$, hình vuông lớn là $x$ cm$^2$. Tìm $x$.

Một trăm số được đặt quanh một đường tròn. Tổng của bất kỳ năm số liên tiếp nào luôn bằng 40. Tìm hiệu giữa số lớn nhất và số nhỏ nhất. Lưu ý nguồn: đề ghi rõ 100, nhưng lời giải nguồn sử dụng 888 số. Đề theo đúng lời văn không có đáp án số duy nhất và cần duyệt.

Tam giác $PQR$ có $PQ=6$ cm, $PR=4$ cm, $QR=6$ cm. Nếu tăng $PQ$ và $PR$ gấp ba còn $QR$ không đổi, phát biểu nào đúng?

Tìm năm chữ số cuối của $1+22+333+4444+55555+666666+7777777+88888888+999999999$.

Một cung $80^\circ$ của đường tròn A có độ dài bằng một cung $60^\circ$ của đường tròn B. Tỉ số diện tích hai hình tròn là $a:b$. Tìm giá trị nhỏ nhất của $a+b$.

Một đường tròn chu vi 1 m lăn bên ngoài một tam giác đều chu vi 3 m, không trượt. Khi đi hết một vòng quanh tam giác, đường tròn quay bao nhiêu vòng?

Hình chữ nhật $ABCD$ có diện tích 32 cm$^2$. Tam giác $ADF$ có diện tích 2 cm$^2$, tam giác $ABE$ có diện tích 8 cm$^2$, với $F$ trên $DC$, $E$ trên $BC$. Tam giác tô $AEF$ có diện tích $x$ cm$^2$. Tìm $x$.

Hai hộp A và B, mỗi hộp có 9 bi trắng, 9 bi đen và 9 bi đỏ. Chuyển 10 viên từ A sang B. Phải chuyển bao nhiêu viên từ B trở lại A để chắc chắn A có ít nhất 8 viên mỗi màu?

$9^{10}$ là số có 10 chữ số. A là tổng chữ số của số đó; B là tổng chữ số của A; C là tổng chữ số của B. Tìm C.

Một ô tô đi từ A đến B với vận tốc không đổi $V$ km/h. Nếu tăng vận tốc 20% thì đến sớm 1 giờ. Nếu đi 120 km đầu với vận tốc $V$ rồi tăng 25%, xe đến sớm 48 phút. Quãng đường là $x$ km. Tìm $x$.

Sơn xanh tất cả các mặt một khối hộp chữ nhật rồi cắt thành các khối lập phương đơn vị thể tích 1 cm$^3$. Có bảy khối không có mặt nào được sơn. Có bao nhiêu khối có đúng hai mặt được sơn?

$ABC$ là tam giác đều; $OD,OE,OF$ lần lượt vuông góc với $AB,BC,CA$, O nằm trong tam giác. Biết $OD+OE+OF=28$ cm, đường cao tam giác là $x$ cm. Tìm $x$.

Hình vẽ cho tam giác $PQR$. Qua O kẻ ba đường song song với ba cạnh. Nguồn ghi diện tích ba “tam giác” tô là 32, 48, 96 cm$^2$; thực tế ba miền tô trong hình là hình bình hành. Dùng đúng ba miền tô đó, tìm diện tích $x$ cm$^2$ của tam giác $PQR$.

Một đường thẳng cắt qua nhiều nhất 3 ô của bảng $2\times2$ và 5 ô của bảng $3\times3$ như hình. Trong bảng $2008\times2008$, đường thẳng có thể cắt qua nhiều nhất bao nhiêu ô đơn vị?