APMOPS 2016

Tính $2016+2015+2014-2013-2012-2011+2010+2009+2008-2007-2006-2005+\cdots+6+5+4-3-2-1$.

Trong hình dưới, mỗi đường trong ba đường thẳng chia hình thành hai phần có diện tích bằng nhau. Diện tích phần tô $A$ và phần tô $B$ có quan hệ gì?

(A) $A>B$; (B) $A<B$; (C) $A=B$; (D) Không đủ dữ kiện để kết luận.

Nhập chữ cái của phương án.

Trong các phân số sau, có bao nhiêu phân số tối giản: $\frac16,\frac27,\frac38,\ldots,\frac{2010}{2015},\frac{2011}{2016}$?

Cho phép toán $a\oplus b=\frac{2}{a^2}+\frac1b$. Đẳng thức nào sau đây đúng?

(A) $2\oplus4=4\oplus2$; (B) $3\oplus6=6\oplus3$; (C) $4\oplus8=8\oplus4$; (D) $1008\oplus2016=2016\oplus1008$.

Nhập chữ cái của phương án.

Trong hình dưới, tam giác đều có cạnh 3 cm và lục giác có cạnh 1 cm. Tỉ số diện tích tam giác đều với diện tích lục giác là $a:2$. Tìm $a$.

Hình vẽ cho tam giác cân $ABC$ với $\angle BAC=90^\circ$ và $BC=6$ cm. Điểm $F$ nằm trên tia $BA$ kéo dài, $FD$ vuông góc với $BC$ và cắt $AC$ tại $E$, với $D$ thuộc $BC$. Tính tổng độ dài $DE+DF$.

Daniel lái xe theo quy luật:

Đi 20 m rồi rẽ trái;
Đi tiếp 20 m rồi rẽ phải;
Đi tiếp 20 m rồi rẽ phải;
Đi tiếp 20 m rồi rẽ phải;
Sau đó lặp lại chu kỳ này.

Hình dưới biểu diễn đường Daniel đã đi. Anh bắt đầu từ điểm nào trong các điểm 1, 2, 3, 4?

Ba khối lập phương có cạnh lần lượt 3 cm, 4 cm, 5 cm. Tất cả các mặt ngoài đều được sơn đỏ. Cắt ba khối thành các khối lập phương nhỏ cạnh 1 cm. Có bao nhiêu khối nhỏ có ít nhất một mặt sơn đỏ?

Trong hình dưới, mỗi cạnh tam giác đều $ABC$ được chia thành sáu đoạn bằng nhau. Mỗi tam giác nhỏ có diện tích 1 cm$^2$. Tính diện tích tứ giác $DEFG$ theo cm$^2$.

Hai con thỏ Harry và Bunny lần lượt xuất phát từ A và B, đi về phía nhau. Vận tốc Harry gấp 1,5 lần vận tốc Bunny. Khi gặp lần đầu, điểm gặp cách trung điểm AB 12 m. Tìm độ dài AB.

Diện tích ba mặt khác loại của một hình hộp chữ nhật có tỉ lệ 2 : 3 : 5. Tổng độ dài tất cả các cạnh bằng 124 cm. Tính thể tích hình hộp chữ nhật.

Xét dãy 300 số nguyên dương đầu tiên 1, 2, 3, ..., 299, 300. Bỏ đi các số chia hết cho 5 hoặc 7. Tìm số thứ 123 trong dãy còn lại.

Chọn 2016 điểm phân biệt bên trong tam giác $ABC$ sao cho trong 2019 điểm (kể cả $A,B,C$), không có ba điểm thẳng hàng. Dùng các điểm này làm đỉnh để chia tam giác $ABC$ thành các tam giác nhỏ. Có bao nhiêu tam giác nhỏ?

Tính $84\times\left(\frac{1}{1\times3}-\frac{2}{3\times5}+\frac{3}{5\times7}-\frac{4}{7\times9}+\cdots+\frac{9}{17\times19}-\frac{10}{19\times21}\right)$.

Cho $a,b,c$ là các số nguyên tố, không nhất thiết khác nhau, và tích của chúng bằng tổng của 7 số nguyên dương liên tiếp. Tìm giá trị nhỏ nhất của $a+b+c$.

Tìm số chữ số 0 ở cuối tích $1\times4\times7\times10\times\cdots\times697\times700$.

Trong hình dưới, không vẽ theo tỉ lệ, tam giác $ABC$ có diện tích 1 cm$^2$. Các điểm $D,E,F$ lần lượt nằm trên các tia $BC,CA,AB$ kéo dài sao cho $BD=2BC$, $CE=3CA$, $AF=4AB$. Tính diện tích tam giác $DEF$.

Chồng sáu đồng xu 10 xu thì cao bằng chồng năm đồng xu 20 xu. Chồng bốn đồng xu 10 xu thì cao bằng chồng ba đồng xu 50 xu. Dùng các đồng 10 xu, 20 xu, 50 xu xếp thành ba chồng cao bằng nhau, tổng cộng 124 đồng. Tổng giá trị là bao nhiêu? Nhập theo đơn vị đô la.

Số dư khi chia $3^{2016}+2$ cho 11 là bao nhiêu?

Trong hình dưới, tìm $\angle A+\angle B+\angle C+\angle D+\angle E+\angle F+\angle G$.