Bebras 2019 - Cấp độ 4

Hãng BeaverKing dùng 6 loại nguyên liệu A, B, C, D, E và F để làm những chiếc bánh kẹp. Hình dưới đây thể hiện các bánh kẹp và nguyên liệu sử dụng.



| Bánh kẹp, từ trái sang phải | Nguyên liệu |
|---|---|
| 1 | C, F |
| 2 | A, B, E |
| 3 | B, E, F |
| 4 | B, C, D |

Trong bốn chiếc bánh kẹp dưới đây, chiếc bánh nào được làm từ các nguyên liệu A, E và F?

Hải ly có các quả bóng trong ba cột A, B và C như hình bên trái trong minh họa dưới đây. Bạn ấy có thể di chuyển một quả bóng từ cột này sang cột khác. Mỗi lần như vậy tính là một lượt di chuyển.



Hỏi hải ly cần ít nhất bao nhiêu lượt di chuyển để được kết quả như hình bên phải?

Hãng hàng không Beaver Airlines có những đường bay kết nối giữa các thành phố như hình vẽ dưới đây.



Để hạn chế tình trạng ô nhiễm môi trường, hãng hàng không cam kết bỏ một số đường bay. Tuy nhiên các đường bay còn lại phải đảm bảo rằng hải ly ở thành phố bất kì có thể đến một thành phố bất kì khác. Ví dụ nếu đường bay giữa hai thành phố San Francisco và Washington, D.C bị bỏ, thì hải ly có thể di chuyển giữa hai thành phố bằng cách đi qua New York. Hỏi số lượng đường bay tối đa mà hãng hàng không Beaver Airline có thể bỏ là bao nhiêu?

Các bạn hải ly đặt 13 quả bóng vào một hộp hình tam giác như hình minh họa dưới đây.



Các quả bóng được gọi là ở vị trí “nguy hiểm” nếu thỏa mãn ít nhất hai điều sau:
- Có ít nhất một khoảng trống liền dưới quả bóng đó.
- Có ít nhất một quả bóng liền dưới quả bóng đó ở vị trí nguy hiểm.

Hỏi trong hộp có bao nhiêu quả bóng không ở vị trí nguy hiểm?

Chú thích biên tập đã được duyệt để chấm: giữ nguyên cụm “ít nhất hai” của nguồn ở trên. Quy tắc mà lời giải chính thức định dùng là thỏa mãn ít nhất một trong hai điều (HOẶC). Hãy trả lời theo quy tắc dự định này. Cách đọc nguyên văn là VÀ được phân tích riêng trong lời giải.

Hải ly rất quan tâm tới vấn đề tái chế thủy tinh. Bằng ba loại máy dưới đây bạn ấy có thể biến đổi thủy tinh như sau:

- Loại 1: Cần có hai mảnh thủy tinh đưa vào máy này. Nếu hai mảnh thủy tinh là hai mảnh thủy tinh trong suốt thì đầu ra sẽ là một mảnh thủy tinh trong suốt. Nếu không thì sẽ cho ra một mảnh thủy tinh màu.
- Loại 2: Cần có hai mảnh thủy tinh đưa vào máy này. Nếu hai mảnh thủy tinh là hai mảnh thủy tinh màu thì đầu ra sẽ là một mảnh thủy tinh màu. Nếu không thì sẽ cho một mảnh thủy tinh trong suốt.
- Loại 3: Chỉ cần một mảnh thủy tinh đưa vào máy này. Nếu mảnh thủy tinh là mảnh thủy tinh trong suốt thì đầu ra sẽ là một mảnh thủy tinh màu. Nếu mảnh thủy tinh là mảnh thủy tinh màu thì đầu ra sẽ là một mảnh thủy tinh trong suốt.

Hải ly đã tạo ra chiếc máy như minh họa dưới đây.



Hỏi các mảnh thủy tinh A, B, C và D cần có màu gì để đầu ra cuối cùng là mảnh thủy tinh trong suốt?

Tám bạn hải ly ngồi quanh một bàn tròn. Biết rằng:
- Alice ngồi đối diện David.
- Henry ngồi giữa Greta và Eugene.
- Franny không ngồi cạnh Alice hoặc David.
- Có một bạn hải ly ngồi giữa Greta và Clare.
- Eugene ngồi bên trái của David.
- Người bạn còn lại có tên là Bruce.



Hỏi rằng nếu đọc tên các bạn theo chiều kim đồng hồ thì chúng ta được thứ tự như thế nào?

Có 42 bạn hải ly dùng chung 5 nhà kho. Hải ly đầu tiên sử dụng nhà kho đầu tiên, hải ly thứ hai sử dụng nhà kho thứ hai, …, hải ly thứ 5 sử dụng nhà kho thứ 5, hải ly thứ 6 sử dụng nhà kho đầu tiên, … cứ thế cho tới bạn hải ly cuối cùng.

Một ngày nọ, nhà kho thứ 6 được hoàn thành. Lúc này các bạn hải ly quyết định dùng chung các nhà kho như sau. Hải ly đầu tiên sử dụng nhà kho đầu tiên, hải ly thứ hai sử dụng nhà kho thứ hai, … hải ly thứ 6 sử dụng nhà kho thứ 6, hải ly thứ 7 sử dụng nhà kho đầu tiên, … cứ thế cho tới bạn hải ly cuối cùng.



| Kho | Các số thứ tự đầu khi có 5 kho | Các số thứ tự đầu khi có 6 kho |
|---|---|---|
| 1 | 1,6,11,… | 1,7,13,… |
| 2 | 2,7,12,… | 2,8,14,… |
| 3 | 3,8,13,… | 3,9,15,… |
| 4 | 4,9,14,… | 4,10,16,… |
| 5 | 5,10,15,… | 5,11,17,… |
| 6 | — | 6,12,18,… |

Hỏi có bao nhiêu bạn hải ly vẫn sử dụng đúng nhà kho đã sử dụng như lúc đầu?

Phù thủy Bibrax đặt trên bàn 49 đồng xu. Bibrax sẽ nhắm mắt và yêu cầu một bạn hải ly thay đổi trạng thái lật – úp của một đồng xu bất kì. Khi mở mắt, phù thủy Bibrax sẽ chỉ cho hải ly biết đồng xu nào đã được bạn ấy thay đổi trạng thái. Bí mật của màn ảo thuật này là: “số đồng xu hình sao ở mỗi hàng, mỗi cột lúc đầu là số chẵn”.



Bảng chép lại có thể chỉnh sửa (1=hình sao, 0=trống):

| | A | B | C | D | E | F | G |
|---|---|---|---|---|---|---|---|
| 1 | 0 | 1 | 0 | 1 | 0 | 1 | 1 |
| 2 | 1 | 0 | 0 | 0 | 1 | 1 | 1 |
| 3 | 1 | 0 | 1 | 1 | 0 | 1 | 0 |
| 4 | 1 | 0 | 0 | 0 | 0 | 1 | 0 |
| 5 | 0 | 1 | 0 | 1 | 1 | 1 | 0 |
| 6 | 1 | 0 | 1 | 1 | 0 | 1 | 1 |
| 7 | 0 | 0 | 0 | 1 | 0 | 0 | 1 |

Hỏi trong hình trên, hải ly đã thay đổi trạng thái lật – úp của đồng xu nào?

Hải ly chế tạo được một chiếc máy có thể biến đổi một từ như sau:
- Nếu số chữ cái của từ là chẵn, từ sẽ được chuyển sang hộp bên phải.
- Nếu số chữ cái của từ là lẻ, từ sẽ được chuyển sang hộp bên trái để xóa chữ cái đầu tiên. Sau đó từ sẽ được chuyển sang hộp bên phải.
- Ở hộp bên phải, các cặp chữ cái liền kề được đổi chỗ cho nhau, sau đó chuyển từ xuống hộp cuối cùng.
- Tại hộp cuối cùng, các chữ cái trong từ được viết theo thứ tự ngược lại.

Ví dụ nếu cho từ “CONTEST” vào máy thì ta sẽ nhận được từ “STTEON”.



Hỏi nếu cho từ “STORAGE” vào máy thì sẽ nhận được từ nào?

Hải ly Stephen tạo những chiếc vòng cho riêng mình bằng cách tuân theo các câu lệnh dưới đây.



Mỗi câu lệnh bên trái được thay thế bởi các câu lệnh bên phải. Hình bên dưới minh họa một số chiếc vòng mà hải ly Stephen đã tạo được.



Bảng chép quy tắc có thể chỉnh sửa: gọi o là hạt vòng rỗng, d là hạt đậm nhỏ, g là hạt trơn lớn, s là hạt xoắn, f là hoa và k là khóa.

| Câu lệnh | Thay thế |
|---|---|
| Bắt đầu | Vòng Nối Khóa |
| Vòng | o d o d |
| Khóa | d k |
| Nối | g g Hạt, hoặc s, hoặc Hoa |
| Hạt | s s Nối |
| Hoa | f Nối f |

Hỏi trong các chiếc vòng dưới đây, chiếc vòng nào không phải do hải ly Stephen làm?

Những trang trại của hải ly được chia thành các ô vuông nhỏ. Ô vuông ở giữa trang trại là nhà kho, trong khi các ô vuông còn lại được hải ly dùng để trồng cỏ hoặc lúa mì. Hàng năm hải ly phải báo cáo với chính quyền số ô vuông được dùng để trồng lúa mì. Báo cáo bao gồm tổng số ô trồng lúa mì ở mỗi hàng, mỗi cột như hình dưới đây.



Bảng chép lại hình mẫu:

| Cỏ | Lúa | Cỏ |
|---|---|---|
| Lúa | Nhà kho | Cỏ |
| Cỏ | Lúa | Cỏ |

Tổng hàng: 1,1,1; tổng cột: 1,2,0.

Trong các báo cáo của hải ly dưới đây, báo cáo nào là đúng?

| Phương án | Tổng hàng, từ trên xuống | Tổng cột, từ trái sang |
|---|---|---|
| A | 3,0,3,2,1 | 3,0,1,1,2 |
| B | 3,2,1,2,4 | 2,2,3,2,3 |
| C | 0,3,3,1,1 | 0,3,3,1,1 |
| D | 4,1,0,3,2 | 4,1,0,3,3 |

Có mười con kiến ở đảo A đang cố gắng đi tới đảo F để kiếm thức ăn như hình dưới đây.



Tại mỗi một thời điểm chỉ có thể có một con kiến đi trên một đường nối giữa hai đảo. Mỗi con kiến mất 1 phút để đi qua hết một đường đó và thời gian di chuyển trên mỗi đảo là không đáng kể. Hỏi có tối đa bao nhiêu con kiến đi tới được đảo F sau 3 phút?

Hải ly Natasha lạc mất rô bốt của mình ở công viên. Công viên là một khu vực có kích thước 3x3 như hình dưới đây. Rô bốt có thể ở bất cứ đâu trong 9 ô vuông đơn vị.



Bằng tín hiệu không dây, Natasha có thể gửi các câu lệnh tới cho bạn rô bốt như sau:
- UP – đi lên 1 ô vuông
- DOWN – đi xuống 1 ô vuông
- LEFT – đi sang trái 1 ô vuông
- RIGHT – đi sang phải 1 ô vuông

Rô bốt không thể đi qua các bức tường là các đường kẻ đậm, nếu nhận câu lệnh phải đi qua bức tường thì hải ly sẽ đứng yên tại vị trí đó để chờ câu lệnh tiếp theo. Hỏi trong các câu lệnh sau, câu lệnh nào là ngắn nhất có thể giúp Natasha đưa rô bốt đến ô chứa hình sao?

Ảnh trong máy tính được lưu trữ trên một lưới vuông, mỗi hình vuông nhỏ được gọi là 1 pixel. Trong khi đó một đoạn phim trong máy tính được lưu trữ bằng một dãy các ảnh như vậy.



Ví dụ như trong hình trên là một đoạn phim ghi lại chuyển động của hình vuông 10 × 10 trong một khung kích thước 20 × 20. Mỗi hình ảnh cần 20 × 20 = 400 pixels để lưu trữ. Đoạn phim có 11 bức ảnh nên cần tới 400 × 11 = 4400 pixels để lưu trữ. Tuy nhiên mỗi bức ảnh trong đoạn phim chỉ khác với bức ảnh liền trước nó ở một vài chi tiết. Do đó để tiết kiệm dung lượng lưu trữ, người ta chỉ cần lưu trữ bức ảnh đầu tiên và những thay đổi trong bức ảnh tiếp theo so với bức ảnh liền trước. Hỏi cần bao nhiêu pixels để lưu trữ đoạn phim trên?

Sáu con mèo đang tới bữa tiệc của đàn chuột bằng cách nhảy qua các đảo trên sông. Những con mèo chỉ có thể nhảy sang hòn đảo liền kề. Chúng không thể nhảy theo đường chéo cũng như nhảy vào hoặc nhảy qua các đảo chìm trên sông. Mỗi con mèo sẽ đứng trên đảo đúng 1 phút trước khi nhảy sang một đảo trống khác. Thời gian nhảy không đáng kể. Nếu xung quanh không có đảo trống, mèo phải ở lại trên đảo thêm 1 phút nữa.



Hỏi cần ít nhất bao nhiêu phút để tất cả 6 con mèo đến được bữa tiệc của đàn chuột?