2017 InIMC keystage2-EMIC team

Chia hình sau thành hai mảnh bằng nhau rồi ghép chúng lại thành một hình vuông. Có thể quay hoặc lật các mảnh.

Mỗi chữ cái $L,U,C,K,N,W,I,M$ biểu thị một chữ số khác nhau từ 1 đến 9, còn $O$ biểu thị chữ số 0. Tìm số nghiệm của phép cộng
$$\begin{array}{rrrrr}&L&U&C&K\\+&&N&O&W\\\hline&I&I&M&C\end{array}$$

Tìm bội nhỏ nhất của 704 chỉ dùng các chữ số 1 và 2. (Được phép lặp lại chữ số).

Có bao nhiêu số nguyên dương không vượt quá 2017 có chữ số hàng đơn vị là 7 và biểu diễn được thành tổng của hai số chính phương?

Trên lưới $18\times18$, vẽ các đường chéo cùng hướng trong một số ô vuông đơn vị. Nếu không có hai đường chéo nào chung điểm, số đường chéo lớn nhất có thể vẽ là bao nhiêu? Hãy chỉ ra một cách bố trí đạt được số đó.

Trong hình, dùng tám số trong các số từ 1 đến 10 để điền vào các ô $A,B,C,D,\mathrm{I},\mathrm{II},\mathrm{III},\mathrm{IV}$. Các số ở $\mathrm{I},\mathrm{II},\mathrm{III},\mathrm{IV}$ là tổng của hai ô kề chúng. Hãy liệt kê tất cả các nghiệm có thể. (Được phép quay và lật).

$H$ là một điểm trên cạnh $BC$ của hình vuông $ABCD$. $F$ là một điểm ở ngoài $ABCD$ sao cho cạnh $AB$ cắt $FD$ tại $E$ và cắt $FH$ tại $G$, với $DE:EF=5:3$ và $GH:FG=5:4$. Nếu diện tích các tam giác $ADE$, $EFG$ và $BGH$ bằng nhau, hãy tìm tỉ số diện tích $DEGH$ với diện tích $CDH$.

Điền các số nguyên từ 1 đến 7 vào bảy ô tròn trong hình. Tổng ba số trong mỗi một trong ba tam giác đã vẽ đều bằng nhau. Một số, cụ thể là 4, đã được cho sẵn. Tìm số cách khác nhau để điền sáu số còn lại?

Khi nhập một số nguyên dương vào máy, máy trả về một nửa số ban đầu nếu số đó chẵn, và trả về số nhỏ hơn số ban đầu 1 đơn vị nếu số đó lẻ. Tìm số nguyên dương nhỏ nhất sao cho khi nhập số đó vào máy rồi liên tục nhập lại kết quả nhận được, sau 17 lần ta thu được kết quả là 1. (Tổng cộng thực hiện 17 phép biến đổi.)

Tìm số có bốn chữ số lớn nhất $\overline{abcd}$ sao cho ít nhất một chữ số của nó bằng 1 và $\overline{abcd}=2\times a\times b\times c\times d+2017$.