Hình dưới đây có chín hình tròn được nối bởi bảy đường thẳng, mỗi đường đi qua ba hình tròn. Thay mỗi chữ $a,b,c,d,e,f,g,h$ và $k$ bằng một số khác nhau trong các số $1,2,3,4,5,6,7,8$ và $9$, sao cho số trong hình tròn ở giữa trên một đường nét liền bằng tổng hai số trong hai hình tròn còn lại, còn số trong hình tròn ở giữa trên một đường nét chấm bằng hiệu hai số trong hai hình tròn còn lại.
Mẫu trả lời gốc:
Hướng dẫn nộp bài: Chỉ nộp sơ đồ đã điền đầy đủ. Đề gốc không yêu cầu chứng minh bằng lời đối với câu số lẻ này. Câu trả lời bằng hình được chấm thủ công, chỉ cho trọn điểm hoặc không cho điểm.
Trong 2016 số nguyên dương đầu tiên, có bao nhiêu số có thể được biểu diễn dưới dạng $1+2+\cdots+(k-1)+mk$, trong đó $k$ và $m$ là các số nguyên dương? Ví dụ, ta có $6=1+2+3\times1$ và $11=1+2\times5$.
Một đường tròn có đường kính $AB$ cắt đường tròn tâm $A$ tại $C$ và $D$. Điểm $E$ là giao điểm của $AB$ và $CD$. Điểm $P$ nằm trên đường tròn thứ hai sao cho $PC=16$ cm, $PD=28$ cm và $PE=14$ cm. Tìm độ dài, tính bằng cm, của $PB$.
Hướng dẫn nộp bài: Trình bày lời giải đầy đủ, theo yêu cầu trên bìa đề đối với câu số chẵn này.
Hình dưới đây cho thấy cách bố trí 20 hình tròn được đánh số. Chú ý rằng các hình tròn 3, 9, 12 và 18 xác định một hình vuông. Phải bỏ đi ít nhất bao nhiêu hình tròn để không có bốn hình tròn còn lại nào xác định một hình vuông?
Một bài kiểm tra Toán gồm 3 câu, mỗi câu có số điểm nguyên từ 1 đến 10, kể cả hai đầu. Mỗi học sinh đạt hơn 15 điểm, và với hai học sinh bất kỳ, có ít nhất một câu mà số điểm họ nhận được khác nhau. Tìm số học sinh lớn nhất.
Làm rõ theo nguồn: Bản tiếng Trung phồn thể của ban tổ chức nói rõ điểm đạt được ở mỗi câu là số nguyên từ 1 đến 10. Ở đây dùng miền điểm nguyên dương đó; cách diễn đạt tiếng Anh ở trên được giữ nguyên.
Hướng dẫn nộp bài: Trình bày lời giải đầy đủ, theo yêu cầu trên bìa đề đối với câu số chẵn này.
Cho $x,y$ và $z$ là các số thực dương sao cho
$$\sqrt{16-x^2}+\sqrt{25-y^2}+\sqrt{36-z^2}=12.$$
Nếu tổng của $x,y$ và $z$ bằng 9, hãy tìm tích của chúng.
Chia sáu hình trong sơ đồ dưới đây thành mười hai mảnh, mỗi mảnh gồm năm ô vuông, sao cho không có hai mảnh nào trong mười hai mảnh trùng nhau sau phép quay hoặc phản xạ.
Mẫu trả lời gốc:
Hướng dẫn nộp bài: Chỉ nộp sáu hình đã chia; đề gốc không yêu cầu chứng minh bằng lời đối với câu số lẻ này. Mỗi mảnh phải liên thông qua cạnh của các ô vuông. Ô đen bị loại khỏi miền cần chia. Mọi cách chia thỏa mãn tất cả các điều kiện đều được chấp nhận khi chấm thủ công, chỉ cho trọn điểm hoặc không cho điểm.
