2016 TIMC keystage2-EMIC team

Chọn chín số khác nhau trong các số 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 và 10. Dùng mỗi số đã chọn đúng một lần để lập ba đẳng thức, trong đó mỗi phép cộng, trừ, nhân, chia được dùng nhiều nhất một lần. Số nhỏ nhất có thể bỏ đi là số nào?

Các ô của bảng 3 hàng 3 cột được đánh số $1,2,\ldots,9$ như hình. Có bao nhiêu cách tô màu năm ô sao cho không hàng nào hoặc cột nào được tô kín?



Hướng dẫn nộp bài: Trình bày lời giải đầy đủ, theo yêu cầu trên bìa đề đối với câu số chẵn này.

Hình vẽ là một bảng 8 hàng 8 cột. Một con kiến đi qua mỗi ô trong 64 ô đúng một lần. Nó bò từ một ô sang ô khác có chung ít nhất một đỉnh. Thứ tự các ô được đi qua được ghi bằng các số, bắt đầu từ 1 và kết thúc ở 64. Một số số đã ghi bị xóa. Hãy điền lại các số bị xóa.



Mẫu trả lời gốc:



Hướng dẫn nộp bài: Chỉ cần nộp bảng đã điền đầy đủ; đề gốc không yêu cầu chứng minh bằng lời đối với câu số lẻ này. Bài được biểu diễn dưới dạng câu trả lời bằng bảng để chấm thủ công, chỉ cho trọn điểm hoặc không cho điểm.

Trong tam giác $ABC$, $AB=7$ cm và $AC=9$ cm. Điểm $D$ nằm trên $AB$ sao cho $BD=3$ cm. Điểm $E$ nằm trên $AC$ sao cho diện tích tứ giác $BCED$ bằng $\frac57$ diện tích tam giác $ABC$. Tìm độ dài, tính bằng cm, của $CE$.



Hướng dẫn nộp bài: Trình bày lời giải đầy đủ theo yêu cầu trên bìa đề.

Có bao nhiêu số nguyên dương nhỏ hơn 100 sao cho tích của tất cả các ước dương của số đó bằng bình phương của chính số đó?

Mỗi em trong 33 trẻ em được đội một chiếc mũ. Mỗi mũ có màu đỏ, trắng hoặc xanh lam. Mỗi em nhìn thấy mũ của tất cả các em khác nhưng không nhìn thấy mũ của mình. Willem nhìn thấy số mũ đỏ gấp ba số mũ xanh lam. Maxima nhìn thấy số mũ trắng gấp đôi số mũ xanh lam. Mũ của Maxima màu gì?

Hướng dẫn nộp bài: Trình bày lời giải đầy đủ theo yêu cầu trên bìa đề.

Mary có một số có ba chữ số. Hai chữ số đầu giống nhau nhưng khác chữ số thứ ba. Myra có một số có một chữ số, bằng chữ số cuối của số của Mary. Có bao nhiêu số khác nhau có bốn chữ số có thể là tích của số của Mary và số của Myra?

Một cửa sổ kích thước 4 m nhân 4 m trên tường cần được bịt kín bằng tám tấm gỗ giống nhau, kích thước 1 m nhân 2 m hoặc 2 m nhân 1 m. Có bao nhiêu cách làm khác nhau? Hai cách cho cùng hình cuối cùng không được coi là khác nhau.

Hướng dẫn nộp bài: Trình bày lời giải đầy đủ theo yêu cầu trên bìa đề.

Bảng 6 hàng 6 cột trong hình dưới đây được chia thành 17 miền, mỗi miền ghi một số. Mỗi ô trong 36 ô chứa một trong các số 1, 2, 3, 4, 5 và 6. Cả sáu số đều xuất hiện trong mỗi hàng và mỗi cột. Số ghi trong miền trắng là số trong ô duy nhất của miền. Số ghi trong miền vàng là hiệu khi lấy số ở một ô trừ số ở ô còn lại. Số ghi trong miền xanh lá là thương khi lấy số ở một ô chia cho số ở ô còn lại. Số ghi trong miền đỏ là tổng các số trong tất cả các ô của miền. Số ghi trong miền xanh lam là tích các số trong tất cả các ô của miền. Hãy điền đủ 36 số.



Mẫu trả lời gốc:



Hướng dẫn nộp bài: Chỉ cần nộp bảng đã điền đầy đủ; đề gốc không yêu cầu chứng minh bằng lời đối với câu số lẻ này. Bài được biểu diễn dưới dạng câu trả lời bằng bảng để chấm thủ công, chỉ cho trọn điểm hoặc không cho điểm.

Một đa giác được gọi là lồi nếu mỗi góc trong của nó nhỏ hơn $180^\circ$. Một đa giác lồi có thể được chia thành các hình vuông và tam giác đều có cùng độ dài cạnh thì nhiều nhất có bao nhiêu cạnh? Hãy giải thích câu trả lời.