2005 xIMC keystage2-EMIC team

Trong hình bình hành $ABCD$, $BE=EC$. Miền tô đậm có diện tích $2$ cm$^2$. Tìm diện tích $ABCD$, tính bằng cm$^2$.

Hình vuông lớn có cạnh $4$ cm, hình vuông nhỏ có cạnh $3$ cm. Theo hình gốc, tìm diện tích miền tô đậm, tính bằng cm$^2$.

Một hình tròn chia thành sáu phần bằng nhau. Tô đen ít nhất một phần. Có bao nhiêu kiểu nếu các kiểu chỉ khác nhau bởi phép quay được tính là một?

Cho $n=9+99+999+\cdots+\underbrace{99\cdots9}_{2005\text{ digits}}$. Chữ số $1$ xuất hiện bao nhiêu lần trong $n$?

Mười thùng dầu mang các chữ số khác nhau $0$–$9$ được xếp thành tam giác như hình. Sắp lại để tổng trên ba cạnh bằng nhau và nhỏ nhất có thể.

Tìm đường từ ô trên cùng đến ô dưới cùng cho tổng $175$. Khi đi qua ô kề một ô số không, tổng đang có trở về không. Mỗi ô chỉ dùng tối đa một lần; dùng hình câu đố gốc.

Xếp các chữ số $1$–$9$ vào hàng vòng tròn. Tổng từ $1$ đến $2$, kể cả hai đầu, bằng $9$; từ $2$ đến $3$ bằng $19$; từ $3$ đến $4$ bằng $45$; từ $4$ đến $5$ bằng $18$.

Một người có ba con, đều sinh nhật hôm nay. Tích tuổi bằng $72$, tổng tuổi bằng số nhà. Người điều tra xem số nhà nhưng vẫn chưa xác định được tuổi. Người cha nói thêm: “Đứa lớn nhất thích kem”, và người điều tra xác định được. Tìm tuổi các con.

Trong phép nhân ở hình, vòng tròn che chữ số lẻ, hình vuông che chữ số chẵn. Điền các chữ số còn thiếu. Dùng phép nhân thẳng cột gốc, kể cả hai tích riêng.

Bánh donut bán theo hộp $7$, $13$ hoặc $25$ chiếc. Số lượng lớn nhất không thể mua được bằng cách kết hợp các hộp nguyên là bao nhiêu?